15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg
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15.17. D´ efinition. Un fibr´ e en droites L sur une vari´ et´ e complexe compacte est
dit gros si sa dimension de Kodaira est ´ egale ` a n = dim X, c’est-` a-dire, s’il existe
une constante c > 0 telle que
H
0 (X, O(kL)) c k
n ,
k k 0 .
15.18. D´ efinition. Un fibr´ e en droites L sur une vari´ et´ e alg´ ebrique projective est
dit num´ eriquement effectif (nef en abr´ eg´ e) si L satisfait l’une des trois propri´ et´ es
´ equivalentes qui suivent :
a) Pour toute courbe alg´ ebrique irr´ eductible C ⊂ X, on a L · C =
C
c 1 (L) 0.
b) Si A est un fibr´ e en droites ample, alors kL + A est ample pour tout k 0.
c) Pour tout ε > 0, il existe une m´ etrique hermitienne h ε de classe C
∞ sur L
telle que Θ h ε (L) −εω, o` u ω est une m´ etrique hermitienne fix´ ee sur X.
L’´ equivalence des propri´ et´ es 15.18 a) et b) est bien connue et nous l’admettrons
ici (voir par exemple Hartshorne [Har70] pour la d´ emonstration). Il est clair d’autre
part que 15.18 c) implique 15.18 a), tandis que 15.18 b) implique 15.18 c) ; en effet
si ω =
i
2π Θ(A) est la courbure d’une m´ etrique de A ` a courbure positive, et si h k est
une m´ etrique sur L induisant une m´ etrique ` a courbure positive sur kL + A, il vient
k
i
2π
Θ(L) +
i
2π
Θ(A) > 0, d’o` u
i
2π
Θ(L) −
1
k
ω. Maintenant, si D =
α j D j 0
est un Q-diviseur effectif, nous d´ efinissons le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs I(D)
comme ´ etant le faisceau I(ϕ) associ´ e ` a la fonction psh ϕ =
α j log |g j | d´ efinie par
des g´ en´ erateurs g j de O(−D j ) ; d’apr` es la remarque 15.6, le calcul de I(D) peut se
faire alg´ ebriquement en utilisant des d´ esingularisations µ :
X → X telles que µ
⋆ D
devienne un diviseur ` a croisements normaux sur
X.
15.19. Th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg. Soit X une vari´ et´ e
alg´ ebrique projective lisse et soit F un fibr´ e en droites sur X tel que F poss` ede
un multiple mF s’´ ecrivant sous la forme mF = L + D o` u L est un fibr´ e en droites
nef et gros, et D un diviseur effectif. Alors
H
q
X, O(K X + F ) ⊗ I(m
−1 D)
= 0 pour q 1.
15.20. Corollaire. Si F est nef et gros, alors H
q
X, O(K X + F )) = 0 pour q 1.
Preuve. Soit A un diviseur tr` es ample non singulier. On a une suite exacte
0 → H
0 (X, O(kL − A)) → H
0 (X, O(kL)) → H
0 (A, O(kL) ↾A ),
et dim H
0 (A, O(kL) ↾A ) C k
n−1 pour une certaine constante C 0. Comme L est
gros, il existe un entier k 0 ≫ 0 tel que O(k 0 L −A) poss` ede une section non triviale.
Si E est le diviseur de cette section, on obtient O(k 0 L−A) ≃ O(E), donc O(k 0 L) ≃
O(A + E). Maintenant, pour k k 0 , il vient O(kL) = O((k − k 0 )L + A + E).
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15.17. D´ efinition. Un fibr´ e en droites L sur une vari´ et´ e complexe compacte est
dit gros si sa dimension de Kodaira est ´ egale ` a n = dim X, c’est-` a-dire, s’il existe
une constante c > 0 telle que
H
0 (X, O(kL)) c k
n ,
k k 0 .
15.18. D´ efinition. Un fibr´ e en droites L sur une vari´ et´ e alg´ ebrique projective est
dit num´ eriquement effectif (nef en abr´ eg´ e) si L satisfait l’une des trois propri´ et´ es
´ equivalentes qui suivent :
a) Pour toute courbe alg´ ebrique irr´ eductible C ⊂ X, on a L · C =
C
c 1 (L) 0.
b) Si A est un fibr´ e en droites ample, alors kL + A est ample pour tout k 0.
c) Pour tout ε > 0, il existe une m´ etrique hermitienne h ε de classe C
∞ sur L
telle que Θ h ε (L) −εω, o` u ω est une m´ etrique hermitienne fix´ ee sur X.
L’´ equivalence des propri´ et´ es 15.18 a) et b) est bien connue et nous l’admettrons
ici (voir par exemple Hartshorne [Har70] pour la d´ emonstration). Il est clair d’autre
part que 15.18 c) implique 15.18 a), tandis que 15.18 b) implique 15.18 c) ; en effet
si ω =
i
2π Θ(A) est la courbure d’une m´ etrique de A ` a courbure positive, et si h k est
une m´ etrique sur L induisant une m´ etrique ` a courbure positive sur kL + A, il vient
k
i
2π
Θ(L) +
i
2π
Θ(A) > 0, d’o` u
i
2π
Θ(L) −
1
k
ω. Maintenant, si D =
α j D j 0
est un Q-diviseur effectif, nous d´ efinissons le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs I(D)
comme ´ etant le faisceau I(ϕ) associ´ e ` a la fonction psh ϕ =
α j log |g j | d´ efinie par
des g´ en´ erateurs g j de O(−D j ) ; d’apr` es la remarque 15.6, le calcul de I(D) peut se
faire alg´ ebriquement en utilisant des d´ esingularisations µ :
X → X telles que µ
⋆ D
devienne un diviseur ` a croisements normaux sur
X.
15.19. Th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg. Soit X une vari´ et´ e
alg´ ebrique projective lisse et soit F un fibr´ e en droites sur X tel que F poss` ede
un multiple mF s’´ ecrivant sous la forme mF = L + D o` u L est un fibr´ e en droites
nef et gros, et D un diviseur effectif. Alors
H
q
X, O(K X + F ) ⊗ I(m
−1 D)
= 0 pour q 1.
15.20. Corollaire. Si F est nef et gros, alors H
q
X, O(K X + F )) = 0 pour q 1.
Preuve. Soit A un diviseur tr` es ample non singulier. On a une suite exacte
0 → H
0 (X, O(kL − A)) → H
0 (X, O(kL)) → H
0 (A, O(kL) ↾A ),
et dim H
0 (A, O(kL) ↾A ) C k
n−1 pour une certaine constante C 0. Comme L est
gros, il existe un entier k 0 ≫ 0 tel que O(k 0 L −A) poss` ede une section non triviale.
Si E est le diviseur de cette section, on obtient O(k 0 L−A) ≃ O(E), donc O(k 0 L) ≃
O(A + E). Maintenant, pour k k 0 , il vient O(kL) = O((k − k 0 )L + A + E).