92
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Im H(γ 1 , γ 2 ) ∈ Z pour tous γ 1 , γ 2 dans le r´ eseau Γ.
Indication : utiliser un proc´ ed´ e de moyennisation pour r´ eduire la d´ emonstration
au cas de m´ etriques k¨ ahl´ eriennes invariantes par translations. Observer que les
tores r´ eels Zγ 1 + Zγ 2 d´ efinissent un syst` eme de g´ en´ erateurs du groupe d’homologie
H 2 (X, Z) et que
Zγ 1 +Zγ 2
ω = ω(γ 1 , γ 2 ).
15.15. Exercice (solution du probl` eme de Levi). Montrer que les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes.
a) X est fortement pseudoconvexe, i.e. X admet une fonction d’exhaustion
fortement psh.
b) X est de Stein, i.e. les fonctions holomorphes globales s´ eparent les points, fournissent des syst` emes de coordonn´ ees locales en tout point, et X est holomorphiquement convexe (par d´ efinition, ceci signifie que pour toute suite discr` ete
(z ν ) dans X il existe une fonction f ∈ H
0 (X, O X ) telle que |f (z ν )| → ∞).
15.16. Remarque. Tant que l’on s’int´ eresse seulement au cas des formes de
bidegr´ e (n, q), n = dim X, les estimations L
2 s’´ etendent aux espaces complexes
poss´ edant des singularit´ es arbitraires. En effet, si X est un espace complexe et ϕ
une fonction poids psh sur X, on peut encore d´ efinir un faisceau K X (ϕ) sur X, tel
que les sections de K X (ϕ) sur un ouvert U sont les n-formes holomorphes f sur la
partie r´ eguli` ere U ∩ X reg , satisfaisant la condition d’int´ egrabilit´ e i
n
2 f ∧ f e
−2ϕ ∈
L
1
loc (U ). Dans ce contexte, la propri´ et´ e de fonctorialit´ e 15.5 s’´ ecrit
µ ⋆
K X ′ (ϕ ◦ µ)
= K X (ϕ),
et elle est valable pour des espaces complexes X, X
′ arbitraires, µ : X
′ → X
´ etant une modification. Si X est non singulier, on a K X (ϕ) = O(K X ) ⊗ I(ϕ),
cependant, si X est singulier, le symboles K X et I(ϕ) ne doivent pas ˆ etre dissoci´ es.
L’´ enonc´ e du th´ eor` eme d’annulation de Nadel devient H
q (X, O(E) ⊗ K X (ϕ)) = 0
pour q 1, sous les mˆ emes hypoth` eses (X k¨ ahl´ erien et faiblement pseudoconvexe,
courbure de E εω). La preuve s’obtient en restreignant toute la situation
` a X reg . Bien qu’en g´ en´ eral X reg ne soit pas faiblement pseudoconvexe (une
condition n´ ecessaire pour qu’il le soit est que codim X sing = 1), X reg est toujours
k¨ ahl´ erien complet (le compl´ ementaire d’un sous-ensemble analytique dans un
espace k¨ ahl´ erien faiblement pseudoconvexe est k¨ ahl´ erien complet, voir par exemple
[Dem82]). Par cons´ equent, le th´ eor` eme d’annulation de Nadel est essentiellement
insensible ` a la pr´ esence de singularit´ es.
Nous d´ eduisons maintenant une version alg´ ebrique du th´ eor` eme d’annulation
de Nadel obtenue ind´ ependamment par Kawamata [Kaw82] et Viehweg [Vie82]
(la preuve originale reposait sur une m´ ethode diff´ erente, utilisant des revˆ etements
cycliques pour ramener la situation au cas du th´ eor` eme de Kodaira usuel). Avant
d’´ enoncer le th´ eor` eme, nous avons besoin d’une d´ efinition.
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Im H(γ 1 , γ 2 ) ∈ Z pour tous γ 1 , γ 2 dans le r´ eseau Γ.
Indication : utiliser un proc´ ed´ e de moyennisation pour r´ eduire la d´ emonstration
au cas de m´ etriques k¨ ahl´ eriennes invariantes par translations. Observer que les
tores r´ eels Zγ 1 + Zγ 2 d´ efinissent un syst` eme de g´ en´ erateurs du groupe d’homologie
H 2 (X, Z) et que
Zγ 1 +Zγ 2
ω = ω(γ 1 , γ 2 ).
15.15. Exercice (solution du probl` eme de Levi). Montrer que les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes.
a) X est fortement pseudoconvexe, i.e. X admet une fonction d’exhaustion
fortement psh.
b) X est de Stein, i.e. les fonctions holomorphes globales s´ eparent les points, fournissent des syst` emes de coordonn´ ees locales en tout point, et X est holomorphiquement convexe (par d´ efinition, ceci signifie que pour toute suite discr` ete
(z ν ) dans X il existe une fonction f ∈ H
0 (X, O X ) telle que |f (z ν )| → ∞).
15.16. Remarque. Tant que l’on s’int´ eresse seulement au cas des formes de
bidegr´ e (n, q), n = dim X, les estimations L
2 s’´ etendent aux espaces complexes
poss´ edant des singularit´ es arbitraires. En effet, si X est un espace complexe et ϕ
une fonction poids psh sur X, on peut encore d´ efinir un faisceau K X (ϕ) sur X, tel
que les sections de K X (ϕ) sur un ouvert U sont les n-formes holomorphes f sur la
partie r´ eguli` ere U ∩ X reg , satisfaisant la condition d’int´ egrabilit´ e i
n
2 f ∧ f e
−2ϕ ∈
L
1
loc (U ). Dans ce contexte, la propri´ et´ e de fonctorialit´ e 15.5 s’´ ecrit
µ ⋆
K X ′ (ϕ ◦ µ)
= K X (ϕ),
et elle est valable pour des espaces complexes X, X
′ arbitraires, µ : X
′ → X
´ etant une modification. Si X est non singulier, on a K X (ϕ) = O(K X ) ⊗ I(ϕ),
cependant, si X est singulier, le symboles K X et I(ϕ) ne doivent pas ˆ etre dissoci´ es.
L’´ enonc´ e du th´ eor` eme d’annulation de Nadel devient H
q (X, O(E) ⊗ K X (ϕ)) = 0
pour q 1, sous les mˆ emes hypoth` eses (X k¨ ahl´ erien et faiblement pseudoconvexe,
courbure de E εω). La preuve s’obtient en restreignant toute la situation
` a X reg . Bien qu’en g´ en´ eral X reg ne soit pas faiblement pseudoconvexe (une
condition n´ ecessaire pour qu’il le soit est que codim X sing = 1), X reg est toujours
k¨ ahl´ erien complet (le compl´ ementaire d’un sous-ensemble analytique dans un
espace k¨ ahl´ erien faiblement pseudoconvexe est k¨ ahl´ erien complet, voir par exemple
[Dem82]). Par cons´ equent, le th´ eor` eme d’annulation de Nadel est essentiellement
insensible ` a la pr´ esence de singularit´ es.
Nous d´ eduisons maintenant une version alg´ ebrique du th´ eor` eme d’annulation
de Nadel obtenue ind´ ependamment par Kawamata [Kaw82] et Viehweg [Vie82]
(la preuve originale reposait sur une m´ ethode diff´ erente, utilisant des revˆ etements
cycliques pour ramener la situation au cas du th´ eor` eme de Kodaira usuel). Avant
d’´ enoncer le th´ eor` eme, nous avons besoin d’une d´ efinition.