15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg
91
Preuve. Le lemme de Skoda 15.3 b) montre que e
−2ϕ est int´ egrable au voisinage
de tout point y = x suffisamment proche de x, donc I(ϕ) y = O X,y , alors que
I(ϕ) x ⊂ m
s+1
X,x d’apr` es 15.3 a). Le corollaire 15.10 est donc un cas particulier de
15.9.
La philosophie de ces r´ esultats (qui peuvent ˆ etre consid´ er´ es comme des g´ en´ eralisations du th´ eor` eme de H¨ ormander-Bombieri-Skoda [Bom70], [Sko72, 75]) est que
le probl` eme de construire des sections holomorphes de K X + E peut se r´ esoudre
en construisant des m´ etriques hermitiennes convenables sur E telles que le poids
ϕ ait des pˆ oles logarithmiques isol´ es en des points donn´ es x j .
15.11. Exercice. Supposons que X soit compacte et que L soit un fibr´ e en
droites positif sur X. Soit {x 1 , . . . , x N } un ensemble fini. Montrer qu’il existe
des constantes a, b 0 d´ ependant seulement de L et N telles que pour tout
s ∈ N le groupe H
0 (X, O(mL)) engendre les jets d’ordre s en tout point x j pour
m as + b.
Indication : Appliquer le corollaire 15.9 ` a E = −K X + mL, avec une m´ etrique
singuli` ere sur L de la forme h = h 0 e
−εψ , o` u h 0 est de classe C
∞ ` a courbure
positive, ε > 0 petit, et ψ(z) ∼ log |z − x j | au voisinage de x j . D´ eduire de l` a le
th´ eor` eme de plongement de Kodaira :
15.12. Th´ eor` eme de plongement de Kodaira. Si L est un fibr´ e en droites sur
une vari´ et´ e complexe compacte, L est ample si et seulement si L est positif.
Une fa¸ con ´ equivalente d’´ enoncer le th´ eor` eme de plongement de Kodaira est la
suivante :
15.13. Crit` ere de projectivit´ e de Kodaira. Une vari´ et´ e complexe compacte
X est alg´ ebrique projective si et seulement si X poss` ede une m´ etrique de Hodge,
c’est-` a-dire une m´ etrique k¨ ahl´ erienne de classe de cohomologie enti` ere.
Preuve. Si X ⊂ P
N est alg´ ebrique projective, alors la restriction de la m´ etrique
de Fubini-Study ` a X est une m´ etrique de Hodge. Inversement, si X poss` ede une
m´ etrique de Hodge ω, la classe de cohomologie repr´ esentant {ω} dans H
2 (X, Z)
d´ efinit un fibr´ e en droites complexe topologique (i.e. de classe C
∞ ), soit L. Comme
ω est de type (1, 1), la suite exacte exponentielle (8.20)
H
1 (X, O
⋆
X ) → H
2 (X, Z) → H
2 (X, O) = H
0,2 (X, C)
montre qu’on peut repr´ esenter le fibr´ e en droites L par un cocycle de H
1 (X, O
⋆
X ),
en d’autres termes, L peut ˆ etre muni d’une structure holomorphe. De plus, il existe
une m´ etrique hermitienne h sur L telle que
i
2π Θ h (L) = ω. Par cons´ equent L est
ample et X est projective.
15.14. Exercice (conditions de Riemann caract´ erisant les vari´ et´ es ab´ eliennes).
Un tore complexe X = C
n /Γ est appel´ e vari´ et´ e ab´ elienne si X est alg´ ebrique
projective. Montrer en utilisant (15.13) qu’un tore X est une vari´ et´ e ab´ elienne si
et seulement si il existe une forme hermitienne d´ efinie positive H sur C
n telle que
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Preuve. Le lemme de Skoda 15.3 b) montre que e
−2ϕ est int´ egrable au voisinage
de tout point y = x suffisamment proche de x, donc I(ϕ) y = O X,y , alors que
I(ϕ) x ⊂ m
s+1
X,x d’apr` es 15.3 a). Le corollaire 15.10 est donc un cas particulier de
15.9.
La philosophie de ces r´ esultats (qui peuvent ˆ etre consid´ er´ es comme des g´ en´ eralisations du th´ eor` eme de H¨ ormander-Bombieri-Skoda [Bom70], [Sko72, 75]) est que
le probl` eme de construire des sections holomorphes de K X + E peut se r´ esoudre
en construisant des m´ etriques hermitiennes convenables sur E telles que le poids
ϕ ait des pˆ oles logarithmiques isol´ es en des points donn´ es x j .
15.11. Exercice. Supposons que X soit compacte et que L soit un fibr´ e en
droites positif sur X. Soit {x 1 , . . . , x N } un ensemble fini. Montrer qu’il existe
des constantes a, b 0 d´ ependant seulement de L et N telles que pour tout
s ∈ N le groupe H
0 (X, O(mL)) engendre les jets d’ordre s en tout point x j pour
m as + b.
Indication : Appliquer le corollaire 15.9 ` a E = −K X + mL, avec une m´ etrique
singuli` ere sur L de la forme h = h 0 e
−εψ , o` u h 0 est de classe C
∞ ` a courbure
positive, ε > 0 petit, et ψ(z) ∼ log |z − x j | au voisinage de x j . D´ eduire de l` a le
th´ eor` eme de plongement de Kodaira :
15.12. Th´ eor` eme de plongement de Kodaira. Si L est un fibr´ e en droites sur
une vari´ et´ e complexe compacte, L est ample si et seulement si L est positif.
Une fa¸ con ´ equivalente d’´ enoncer le th´ eor` eme de plongement de Kodaira est la
suivante :
15.13. Crit` ere de projectivit´ e de Kodaira. Une vari´ et´ e complexe compacte
X est alg´ ebrique projective si et seulement si X poss` ede une m´ etrique de Hodge,
c’est-` a-dire une m´ etrique k¨ ahl´ erienne de classe de cohomologie enti` ere.
Preuve. Si X ⊂ P
N est alg´ ebrique projective, alors la restriction de la m´ etrique
de Fubini-Study ` a X est une m´ etrique de Hodge. Inversement, si X poss` ede une
m´ etrique de Hodge ω, la classe de cohomologie repr´ esentant {ω} dans H
2 (X, Z)
d´ efinit un fibr´ e en droites complexe topologique (i.e. de classe C
∞ ), soit L. Comme
ω est de type (1, 1), la suite exacte exponentielle (8.20)
H
1 (X, O
⋆
X ) → H
2 (X, Z) → H
2 (X, O) = H
0,2 (X, C)
montre qu’on peut repr´ esenter le fibr´ e en droites L par un cocycle de H
1 (X, O
⋆
X ),
en d’autres termes, L peut ˆ etre muni d’une structure holomorphe. De plus, il existe
une m´ etrique hermitienne h sur L telle que
i
2π Θ h (L) = ω. Par cons´ equent L est
ample et X est projective.
15.14. Exercice (conditions de Riemann caract´ erisant les vari´ et´ es ab´ eliennes).
Un tore complexe X = C
n /Γ est appel´ e vari´ et´ e ab´ elienne si X est alg´ ebrique
projective. Montrer en utilisant (15.13) qu’un tore X est une vari´ et´ e ab´ elienne si
et seulement si il existe une forme hermitienne d´ efinie positive H sur C
n telle que