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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
indiff´ eremment I(h) = I(ϕ) par abus de notation. Dans ce contexte, nous avons le
th´ eor` eme d’annulation fondamental suivant, qui est probablement un des r´ esultats
les plus centraux de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique ou analytique (comme nous le verrons
plus tard, ce th´ eor` eme contient le th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg
comme cas particulier).
15.8. Th´ eor` eme d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω)
une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibr´ e en droites
holomorphe sur X muni d’une m´ etrique hermitienne h singuli` ere de poids ϕ.
Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que i Θ h (E)
εω. Alors
H
q
X, O(K X + E) ⊗ I(h)
= 0
pour tout q 1.
Preuve. Soit L
q le faisceau des germes de (n, q)-formes u ` a valeurs dans E et ` a
coefficients mesurables, telles que ` a la fois |u|
2 e
−2ϕ et |d
′′ u|
2 e
−2ϕ soient localement
int´ egrables. L’op´ erateur d
′′ d´ efinit un complexe de faisceaux (L
• , d
′′ ) qui est une
r´ esolution du faisceau O(K X +E)⊗I(ϕ) : en effet, le noyau de d
′′ en degr´ e 0 consiste
en les germes de n-formes holomorphes ` a valeurs dans E qui satisfont la condition
d’int´ egrabilit´ e ; donc la fonction coefficient appartient ` a I(ϕ) ; l’exactitude en degr´ e
q 1 d´ ecoule du corollaire 14.3 appliqu´ e ` a des boules arbitrairement petites.
Comme chaque faisceau L
q est un C
∞ -module, L
• est une r´ esolution par des
faisceaux acycliques. Soit ψ une fonction d’exhaustion psh de classe C
∞ sur X.
Appliquons le corollaire 14.3 globalement sur X, avec la m´ etrique initiale de
E multipli´ ee par le facteur e
−χ◦ψ , o` u χ est une fonction convexe croissante de
croissance arbitrairement rapide ` a l’infini. Ce facteur peut ˆ etre utilis´ e pour assurer
la convergence des int´ egrales ` a l’infini. Du corollaire 14.3, nous d´ eduisons alors que
H
q
Γ(X, L
• )
= 0 pour q 1. Le th´ eor` eme s’ensuit grˆ ace ` a l’isomorphisme de De
Rham-Weil (1.2).
15.9. Corollaire. Soit (X, ω), E et ϕ comme dans le th´ eor` eme 15.8 et soient
x 1 , . . . , x N des points isol´ es de la vari´ et´ e des z´ eros V (I(ϕ)). Alors il existe une
application surjective
H
0 (X, O(K X + E)) −→ −→
1jN
O(K X + E) x j ⊗
O X /I(ϕ)
x j
.
Preuve. Consid´ erons la suite exacte longue de cohomologie associ´ ee ` a la suite exacte
courte 0 → I(ϕ) → O X → O X /I(ϕ) → 0, tordue par O(K X + E), et appliquons le
th´ eor` eme 15.8 pour obtenir l’annulation du premier groupe H
1 . La propri´ et´ e de
surjectivit´ e annonc´ ee s’ensuit.
15.10. Corollaire. Soit (X, ω), E et ϕ comme dans le th´ eor` eme 15.8. Supposons
que la fonction poids ϕ soit telle que ν(ϕ, x) n + s en un certain point x ∈ X
tel que ν(ϕ, y) < 1 pour y = x assez voisin de x. Alors H
0 (X, K X + E) engendre
tous les s-jets de sections au point x.
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
indiff´ eremment I(h) = I(ϕ) par abus de notation. Dans ce contexte, nous avons le
th´ eor` eme d’annulation fondamental suivant, qui est probablement un des r´ esultats
les plus centraux de la g´ eom´ etrie alg´ ebrique ou analytique (comme nous le verrons
plus tard, ce th´ eor` eme contient le th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg
comme cas particulier).
15.8. Th´ eor` eme d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω)
une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibr´ e en droites
holomorphe sur X muni d’une m´ etrique hermitienne h singuli` ere de poids ϕ.
Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que i Θ h (E)
εω. Alors
H
q
X, O(K X + E) ⊗ I(h)
= 0
pour tout q 1.
Preuve. Soit L
q le faisceau des germes de (n, q)-formes u ` a valeurs dans E et ` a
coefficients mesurables, telles que ` a la fois |u|
2 e
−2ϕ et |d
′′ u|
2 e
−2ϕ soient localement
int´ egrables. L’op´ erateur d
′′ d´ efinit un complexe de faisceaux (L
• , d
′′ ) qui est une
r´ esolution du faisceau O(K X +E)⊗I(ϕ) : en effet, le noyau de d
′′ en degr´ e 0 consiste
en les germes de n-formes holomorphes ` a valeurs dans E qui satisfont la condition
d’int´ egrabilit´ e ; donc la fonction coefficient appartient ` a I(ϕ) ; l’exactitude en degr´ e
q 1 d´ ecoule du corollaire 14.3 appliqu´ e ` a des boules arbitrairement petites.
Comme chaque faisceau L
q est un C
∞ -module, L
• est une r´ esolution par des
faisceaux acycliques. Soit ψ une fonction d’exhaustion psh de classe C
∞ sur X.
Appliquons le corollaire 14.3 globalement sur X, avec la m´ etrique initiale de
E multipli´ ee par le facteur e
−χ◦ψ , o` u χ est une fonction convexe croissante de
croissance arbitrairement rapide ` a l’infini. Ce facteur peut ˆ etre utilis´ e pour assurer
la convergence des int´ egrales ` a l’infini. Du corollaire 14.3, nous d´ eduisons alors que
H
q
Γ(X, L
• )
= 0 pour q 1. Le th´ eor` eme s’ensuit grˆ ace ` a l’isomorphisme de De
Rham-Weil (1.2).
15.9. Corollaire. Soit (X, ω), E et ϕ comme dans le th´ eor` eme 15.8 et soient
x 1 , . . . , x N des points isol´ es de la vari´ et´ e des z´ eros V (I(ϕ)). Alors il existe une
application surjective
H
0 (X, O(K X + E)) −→ −→
1jN
O(K X + E) x j ⊗
O X /I(ϕ)
x j
.
Preuve. Consid´ erons la suite exacte longue de cohomologie associ´ ee ` a la suite exacte
courte 0 → I(ϕ) → O X → O X /I(ϕ) → 0, tordue par O(K X + E), et appliquons le
th´ eor` eme 15.8 pour obtenir l’annulation du premier groupe H
1 . La propri´ et´ e de
surjectivit´ e annonc´ ee s’ensuit.
15.10. Corollaire. Soit (X, ω), E et ϕ comme dans le th´ eor` eme 15.8. Supposons
que la fonction poids ϕ soit telle que ν(ϕ, x) n + s en un certain point x ∈ X
tel que ν(ϕ, y) < 1 pour y = x assez voisin de x. Alors H
0 (X, K X + E) engendre
tous les s-jets de sections au point x.