15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg
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clos J = J(ϕ/α), d´ efini comme le faisceau des fonctions holomorphes h telles que
|h| C exp(ϕ/α). Dans ce cas, le calcul se fait comme suit.
Choisissons d’abord une modification lisse µ :
X → X de X telle que µ
⋆ J
soit un faisceau inversible O(−D) associ´ e ` a un diviseur ` a croisements normaux
D =
λ j D j , o` u (D j ) sont les composantes du diviseur exceptionnel de
X
(consid´ erer l’´ eclatement X
′ de X par rapport ` a l’id´ eal J, de sorte que l’image
inverse de J sur X
′ devienne un faisceau inversible O(−D
′ ), puis ´ eclater de nouveau
X
′ de mani` ere ` a rendre X
′ lisse et D
′ ` a croisements normaux, en invoquant
Hironaka [Hi64]). Nous avons alors K
X
= µ
⋆ K X + R o` u R =
ρ j D j est le
diviseur des z´ eros du jacobien J µ de l’application d’´ eclatement. De la formule
d’image directe 15.5, nous d´ eduisons
I(ϕ) = µ ⋆
O(K
X
− µ
⋆ K X ) ⊗ I(ϕ ◦ µ)
= µ ⋆
O(R) ⊗ I(ϕ ◦ µ)
.
Maintenant, les (f j ◦ µ) sont des g´ en´ erateurs de l’id´ eal O(−D), donc
ϕ ◦ µ ∼ α
λ j log |g j |
o` u les g j sont des g´ en´ erateurs locaux de O(−D j ). Nous sommes donc ramen´ es ` a
calculer le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs dans le cas o` u les pˆ oles sont donn´ es
par un Q-diviseur ` a croisements normaux
αλ j D j . Nous obtenons I(ϕ ◦ µ) =
O(−
⌊αλ j ⌋D j ), donc
I(ϕ) = µ ⋆ O
X
(ρ j − ⌊αλ j ⌋)D j
.
15.7. Exercice. Calculer le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs I(ϕ) associ´ e ` a la
fonction psh ϕ = log(|z 1 |
α 1 + · · · + |z p |
α p ), pour des nombres r´ eels arbitraires
α j > 0.
Indication : en utilisant la formule de Parseval et des coordonn´ ees polaires
z j = r j e
i Θ j , montrer que le probl` eme est ´ equivalent ` a d´ eterminer pour quels
p-uplets (β 1 , . . . , β p ) ∈ N
p l’int´ egrale
[0,1] p
r
2β 1
1
· · · r
2β p
p
r 1 dr 1 · · · r p dr p
r
2α 1
1
+ · · · + r
2α p
p
=
[0,1] p
t
(β 1 +1)/α 1
1
· · · t
(β p +1)/α p
p
t 1 + · · · + t p
dt 1
t 1
· · ·
dt p
t p
est convergente. D´ eduire de l` a que I(ϕ) est engendr´ e par les monˆ omes z
β 1
1 · · · z
β p
p
tels que
(β p + 1)/α p > 1. (Cet exercice montre que la d´ efinition analytique de
I(ϕ) est parfois aussi tr` es commode pour les calculs).
Soit E un fibr´ e en droites sur X muni d’une m´ etrique singuli` ere h de courant
de courbure Θ h (E). Si ϕ est le poids repr´ esentant la m´ etrique h sur un ouvert
Ω ⊂ X, le faisceau d’id´ eaux I(ϕ) est ind´ ependant du choix de la trivialisation. Il
est donc la restriction ` a Ω d’un faisceau coh´ erent global sur X que nous noterons
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clos J = J(ϕ/α), d´ efini comme le faisceau des fonctions holomorphes h telles que
|h| C exp(ϕ/α). Dans ce cas, le calcul se fait comme suit.
Choisissons d’abord une modification lisse µ :
X → X de X telle que µ
⋆ J
soit un faisceau inversible O(−D) associ´ e ` a un diviseur ` a croisements normaux
D =
λ j D j , o` u (D j ) sont les composantes du diviseur exceptionnel de
X
(consid´ erer l’´ eclatement X
′ de X par rapport ` a l’id´ eal J, de sorte que l’image
inverse de J sur X
′ devienne un faisceau inversible O(−D
′ ), puis ´ eclater de nouveau
X
′ de mani` ere ` a rendre X
′ lisse et D
′ ` a croisements normaux, en invoquant
Hironaka [Hi64]). Nous avons alors K
X
= µ
⋆ K X + R o` u R =
ρ j D j est le
diviseur des z´ eros du jacobien J µ de l’application d’´ eclatement. De la formule
d’image directe 15.5, nous d´ eduisons
I(ϕ) = µ ⋆
O(K
X
− µ
⋆ K X ) ⊗ I(ϕ ◦ µ)
= µ ⋆
O(R) ⊗ I(ϕ ◦ µ)
.
Maintenant, les (f j ◦ µ) sont des g´ en´ erateurs de l’id´ eal O(−D), donc
ϕ ◦ µ ∼ α
λ j log |g j |
o` u les g j sont des g´ en´ erateurs locaux de O(−D j ). Nous sommes donc ramen´ es ` a
calculer le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs dans le cas o` u les pˆ oles sont donn´ es
par un Q-diviseur ` a croisements normaux
αλ j D j . Nous obtenons I(ϕ ◦ µ) =
O(−
⌊αλ j ⌋D j ), donc
I(ϕ) = µ ⋆ O
X
(ρ j − ⌊αλ j ⌋)D j
.
15.7. Exercice. Calculer le faisceau d’id´ eaux multiplicateurs I(ϕ) associ´ e ` a la
fonction psh ϕ = log(|z 1 |
α 1 + · · · + |z p |
α p ), pour des nombres r´ eels arbitraires
α j > 0.
Indication : en utilisant la formule de Parseval et des coordonn´ ees polaires
z j = r j e
i Θ j , montrer que le probl` eme est ´ equivalent ` a d´ eterminer pour quels
p-uplets (β 1 , . . . , β p ) ∈ N
p l’int´ egrale
[0,1] p
r
2β 1
1
· · · r
2β p
p
r 1 dr 1 · · · r p dr p
r
2α 1
1
+ · · · + r
2α p
p
=
[0,1] p
t
(β 1 +1)/α 1
1
· · · t
(β p +1)/α p
p
t 1 + · · · + t p
dt 1
t 1
· · ·
dt p
t p
est convergente. D´ eduire de l` a que I(ϕ) est engendr´ e par les monˆ omes z
β 1
1 · · · z
β p
p
tels que
(β p + 1)/α p > 1. (Cet exercice montre que la d´ efinition analytique de
I(ϕ) est parfois aussi tr` es commode pour les calculs).
Soit E un fibr´ e en droites sur X muni d’une m´ etrique singuli` ere h de courant
de courbure Θ h (E). Si ϕ est le poids repr´ esentant la m´ etrique h sur un ouvert
Ω ⊂ X, le faisceau d’id´ eaux I(ϕ) est ind´ ependant du choix de la trivialisation. Il
est donc la restriction ` a Ω d’un faisceau coh´ erent global sur X que nous noterons