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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
15.5. Proposition. Soit µ : X
′ → X une modification de vari´ et´ es complexes non
singuli` eres (i.e. une application holomorphe propre g´ en´ eriquement 1 : 1), et soit ϕ
une fonction psh sur X. Alors
µ ⋆
O(K X ′ ) ⊗ I(ϕ ◦ µ)
= O(K X ) ⊗ I(ϕ).
Preuve. Soit n = dim X = dim X
′ et soit S ⊂ X un sous-ensemble analytique tel
que µ : X
′ S
′ → X S soit un biholomorphisme. Par d´ efinition des faisceaux
d’id´ eaux multiplicateurs, O(K X ) ⊗ I(ϕ) s’identifie au faisceau des n-formes holomorphes f sur un ouvert quelconque U ⊂ X, telles que i
n
2 f ∧ f e
−2ϕ ∈ L
1
loc (U ).
Puisque ϕ est localement major´ ee, nous pouvons mˆ eme consid´ erer des formes f
qui sont a priori d´ efinies seulement sur U S, car f est dans L
2
loc (U ) et s’´ etend
donc automatiquement ` a travers S. La formule de changement de variables donne
U
i
n
2 f ∧ f e
−2ϕ =
µ −1 (U)
i
n
2 µ
⋆ f ∧ µ ⋆ f e
−2ϕ◦µ ,
donc f ∈ Γ(U, O(K X )⊗I(ϕ)) si et seulement si µ
⋆ f ∈ Γ(µ
−1 (U ), O(K X ′ )⊗I(ϕ◦µ)).
La prop. 15.5 est d´ emontr´ ee.
15.6. Remarque. Si ϕ a des singularit´ es alg´ ebriques ou analytiques (cf. d´ efinition
11.7), le calcul de I(ϕ) se r´ eduit ` a un probl` eme purement alg´ ebrique.
Le premi` ere observation est que I(ϕ) se calcule ais´ ement si ϕ =
α j log |g j |
o` u D j = g
−1
j (0) sont des diviseurs irr´ eductible lisses ` a croisements normaux. Alors
I(ϕ) est le faisceau des fonctions holomorphes h sur les ouverts U ⊂ X, telles que
U
|h|
2
|g j |
−2α j dV < +∞.
Puisque les g j peuvent ˆ etre prises comme fonctions coordonn´ ees dans des syst` emes
de coordonn´ ees locales convenables (z 1 , . . . , z n ), la condition d’int´ egrabilit´ e est que
h soit divisible par
g
m j
j , o` u m j − α j > −1 pour chaque j, i.e. m j ⌊α j ⌋ (⌊ ⌋
d´ esigne la partie enti` ere). Par suite
I(ϕ) = O(−⌊D⌋) = O(−
⌊α j ⌋D j )
o` u ⌊D⌋ est la partie enti` ere du Q-diviseur D =
α j D j .
Maintenant, consid´ erons le cas g´ en´ eral de singularit´ es alg´ ebriques ou analytiques, et supposons que
ϕ ∼
α
2
log
|f 1 |
2 + · · · + |f N |
2
au voisinage des pˆ oles. D’apr` es la remarque ´ enonc´ ee apr` es la d´ ef. 11.7, nous pouvons supposer que les (f j ) sont des g´ en´ erateurs du faisceau d’id´ eaux int´ egralement
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
15.5. Proposition. Soit µ : X
′ → X une modification de vari´ et´ es complexes non
singuli` eres (i.e. une application holomorphe propre g´ en´ eriquement 1 : 1), et soit ϕ
une fonction psh sur X. Alors
µ ⋆
O(K X ′ ) ⊗ I(ϕ ◦ µ)
= O(K X ) ⊗ I(ϕ).
Preuve. Soit n = dim X = dim X
′ et soit S ⊂ X un sous-ensemble analytique tel
que µ : X
′ S
′ → X S soit un biholomorphisme. Par d´ efinition des faisceaux
d’id´ eaux multiplicateurs, O(K X ) ⊗ I(ϕ) s’identifie au faisceau des n-formes holomorphes f sur un ouvert quelconque U ⊂ X, telles que i
n
2 f ∧ f e
−2ϕ ∈ L
1
loc (U ).
Puisque ϕ est localement major´ ee, nous pouvons mˆ eme consid´ erer des formes f
qui sont a priori d´ efinies seulement sur U S, car f est dans L
2
loc (U ) et s’´ etend
donc automatiquement ` a travers S. La formule de changement de variables donne
U
i
n
2 f ∧ f e
−2ϕ =
µ −1 (U)
i
n
2 µ
⋆ f ∧ µ ⋆ f e
−2ϕ◦µ ,
donc f ∈ Γ(U, O(K X )⊗I(ϕ)) si et seulement si µ
⋆ f ∈ Γ(µ
−1 (U ), O(K X ′ )⊗I(ϕ◦µ)).
La prop. 15.5 est d´ emontr´ ee.
15.6. Remarque. Si ϕ a des singularit´ es alg´ ebriques ou analytiques (cf. d´ efinition
11.7), le calcul de I(ϕ) se r´ eduit ` a un probl` eme purement alg´ ebrique.
Le premi` ere observation est que I(ϕ) se calcule ais´ ement si ϕ =
α j log |g j |
o` u D j = g
−1
j (0) sont des diviseurs irr´ eductible lisses ` a croisements normaux. Alors
I(ϕ) est le faisceau des fonctions holomorphes h sur les ouverts U ⊂ X, telles que
U
|h|
2
|g j |
−2α j dV < +∞.
Puisque les g j peuvent ˆ etre prises comme fonctions coordonn´ ees dans des syst` emes
de coordonn´ ees locales convenables (z 1 , . . . , z n ), la condition d’int´ egrabilit´ e est que
h soit divisible par
g
m j
j , o` u m j − α j > −1 pour chaque j, i.e. m j ⌊α j ⌋ (⌊ ⌋
d´ esigne la partie enti` ere). Par suite
I(ϕ) = O(−⌊D⌋) = O(−
⌊α j ⌋D j )
o` u ⌊D⌋ est la partie enti` ere du Q-diviseur D =
α j D j .
Maintenant, consid´ erons le cas g´ en´ eral de singularit´ es alg´ ebriques ou analytiques, et supposons que
ϕ ∼
α
2
log
|f 1 |
2 + · · · + |f N |
2
au voisinage des pˆ oles. D’apr` es la remarque ´ enonc´ ee apr` es la d´ ef. 11.7, nous pouvons supposer que les (f j ) sont des g´ en´ erateurs du faisceau d’id´ eaux int´ egralement