15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg
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des coordonn´ ees locales quelconques pr` es de x. Ce faisceau sera appel´ e faisceau
d’id´ eaux multiplicateurs associ´ e au poids ϕ.
La vari´ et´ e des z´ eros V (I(ϕ)) est donc l’ensemble des points au voisinage
desquels e
−2ϕ est non int´ egrable. Bien entendu, de tel points ne peuvent apparaˆ ıtre
que l` a o` u ϕ a des pˆ oles logarithmiques. La formulation pr´ ecise est la suivante.
15.2. D´ efinition. On dira qu’une fonction psh ϕ a un pˆ ole logarithmique de
coefficient γ en un point x ∈ X si le nombre de Lelong
ν(ϕ, x) := lim inf
z→x
ϕ(z)
log |z − x|
est non nul et si ν(ϕ, x) = γ.
15.3. Lemme (Skoda [Sko72]). Soit ϕ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ C
n et
soit x ∈ Ω.
a) Si ν(ϕ, x) < 1, alors e
−2ϕ est int´ egrable au voisinage de x, en particulier
I(ϕ) x = O Ω,x .
b) Si ν(ϕ, x) n + s pour un certain entier s 0, alors e
−2ϕ
C|z − x|
−2n−2s
au voisinage de x et I(ϕ) x ⊂ m
s+1
Ω,x , o` u m Ω,x d´ esigne l’id´ eal maximal de O Ω,x .
Preuve. La d´ emonstration repose sur des estimations classiques de th´ eorie du
potentiel complexe, voir H. Skoda [Sko72].
15.4. Proposition ([Nad89]). Pour toute fonction psh ϕ sur Ω ⊂ X, le faisceau
I(ϕ) est un faisceau coh´ erent d’id´ eaux sur Ω.
Preuve. Puisque le r´ esultat est local, nous pouvons supposons que Ω est la boule
unit´ e de C
n . Soit H ϕ (Ω) l’ensemble des fonctions f holomorphes sur Ω telles
que
Ω
|f |
2 e
−2ϕ dλ < +∞. D’apr` es la propri´ et´ e noeth´ erienne forte des faisceaux
coh´ erents, l’ensemble H ϕ (Ω) engendre un faisceau d’id´ eaux coh´ erent J ⊂ O Ω .
Il est clair que J ⊂ I(ϕ) ; pour d´ emontrer l’´ egalit´ e, il suffit de v´ erifier que
J x + I(ϕ) x ∩ m
s+1
Ω,x = I(ϕ) x pour tout entier s, en vertu du lemme de Krull.
Soit f ∈ I(ϕ) x un germe d´ efini sur un voisinage V de x et soit θ une fonction
tronquante ` a support dans V , telle que θ = 1 au voisinage de x. On r´ esout
l’´ equation d
′′ u = g := d
′′ (θf ) au moyen des estimations L
2 de H¨ ormander (14.3),
o` u E est le fibr´ e en droites trivial Ω × C muni du poids strictement psh
ϕ(z) = ϕ(z) + (n + s) log |z − x| + |z|
2 .
Nous obtenons une solution u telle que
Ω
|u|
2 e
−2ϕ |z − x|
−2(n+s) dλ < ∞, donc
F = θf − u est holomorphe, F ∈ H ϕ (Ω) et f x − F x = u x ∈ I(ϕ) x ∩ m
s+1
Ω,x . Ceci
d´ emontre notre affirmation.
Les faisceaux d’id´ eaux multiplicateurs satisfont la propri´ et´ e essentielle suivante
de fonctorialit´ e, relativement aux images directes de faisceaux par des modifications.
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des coordonn´ ees locales quelconques pr` es de x. Ce faisceau sera appel´ e faisceau
d’id´ eaux multiplicateurs associ´ e au poids ϕ.
La vari´ et´ e des z´ eros V (I(ϕ)) est donc l’ensemble des points au voisinage
desquels e
−2ϕ est non int´ egrable. Bien entendu, de tel points ne peuvent apparaˆ ıtre
que l` a o` u ϕ a des pˆ oles logarithmiques. La formulation pr´ ecise est la suivante.
15.2. D´ efinition. On dira qu’une fonction psh ϕ a un pˆ ole logarithmique de
coefficient γ en un point x ∈ X si le nombre de Lelong
ν(ϕ, x) := lim inf
z→x
ϕ(z)
log |z − x|
est non nul et si ν(ϕ, x) = γ.
15.3. Lemme (Skoda [Sko72]). Soit ϕ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ C
n et
soit x ∈ Ω.
a) Si ν(ϕ, x) < 1, alors e
−2ϕ est int´ egrable au voisinage de x, en particulier
I(ϕ) x = O Ω,x .
b) Si ν(ϕ, x) n + s pour un certain entier s 0, alors e
−2ϕ
C|z − x|
−2n−2s
au voisinage de x et I(ϕ) x ⊂ m
s+1
Ω,x , o` u m Ω,x d´ esigne l’id´ eal maximal de O Ω,x .
Preuve. La d´ emonstration repose sur des estimations classiques de th´ eorie du
potentiel complexe, voir H. Skoda [Sko72].
15.4. Proposition ([Nad89]). Pour toute fonction psh ϕ sur Ω ⊂ X, le faisceau
I(ϕ) est un faisceau coh´ erent d’id´ eaux sur Ω.
Preuve. Puisque le r´ esultat est local, nous pouvons supposons que Ω est la boule
unit´ e de C
n . Soit H ϕ (Ω) l’ensemble des fonctions f holomorphes sur Ω telles
que
Ω
|f |
2 e
−2ϕ dλ < +∞. D’apr` es la propri´ et´ e noeth´ erienne forte des faisceaux
coh´ erents, l’ensemble H ϕ (Ω) engendre un faisceau d’id´ eaux coh´ erent J ⊂ O Ω .
Il est clair que J ⊂ I(ϕ) ; pour d´ emontrer l’´ egalit´ e, il suffit de v´ erifier que
J x + I(ϕ) x ∩ m
s+1
Ω,x = I(ϕ) x pour tout entier s, en vertu du lemme de Krull.
Soit f ∈ I(ϕ) x un germe d´ efini sur un voisinage V de x et soit θ une fonction
tronquante ` a support dans V , telle que θ = 1 au voisinage de x. On r´ esout
l’´ equation d
′′ u = g := d
′′ (θf ) au moyen des estimations L
2 de H¨ ormander (14.3),
o` u E est le fibr´ e en droites trivial Ω × C muni du poids strictement psh
ϕ(z) = ϕ(z) + (n + s) log |z − x| + |z|
2 .
Nous obtenons une solution u telle que
Ω
|u|
2 e
−2ϕ |z − x|
−2(n+s) dλ < ∞, donc
F = θf − u est holomorphe, F ∈ H ϕ (Ω) et f x − F x = u x ∈ I(ϕ) x ∩ m
s+1
Ω,x . Ceci
d´ emontre notre affirmation.
Les faisceaux d’id´ eaux multiplicateurs satisfont la propri´ et´ e essentielle suivante
de fonctorialit´ e, relativement aux images directes de faisceaux par des modifications.