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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
(on suppose donc g(x) = 0 presque partout aux points o` u γ 1 (x) + · · · + γ q (x) = 0),
il existe f ∈ L
2 (X, Λ
n,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ f = g et
2
X
|f |
2 dV ω
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω .
Preuve. En effet, pour p = n, la formule (13.6) montre que
Au, u (γ 1 + · · · + γ q )|u|
2 ,
donc A
−1 u, u (γ 1 + · · · + γ q )
−1 |u|
2 .
Une observation importante est que le th´ eor` eme ci-dessus s’applique encore
quand la m´ etrique hermitienne de E est une m´ etrique singuli` ere ` a courbure positive
au sens des courants. En effet, par les techniques standard de r´ egularisation
(convolution des fonctions psh par des noyaux r´ egularisants), la m´ etrique peut
ˆ etre rendue C
∞ et les solutions obtenues au moyen des th´ eor` emes (14.1) ou (14.2)
pour les m´ etriques r´ egularis´ ees ont des limites satisfaisant les estimations d´ esir´ ees.
En particulier, nous obtenons le corollaire suivant.
14.3. Corollaire. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, dim X = n. Supposons que
X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibr´ e en droites holomorphe muni
d’une m´ etrique singuli` ere dont le poids local est not´ e ϕ ∈ L
1
loc . Supposons que
i Θ(E) = 2i d
′ d
′′ ϕ εω
pour un certain ε > 0. Alors pour toute forme g ∈ L
2 (X, Λ
n,q T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ g = 0, il existe f ∈ L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que D
′′ f = g et
X
|f |
2 e
−2ϕ dV ω
1
qε
X
|g|
2 e
−2ϕ dV ω .
Nous avons not´ e ici de fa¸ con quelque peu incorrecte la m´ etrique sous la forme
|f |
2 e
−2ϕ , comme si le poids ϕ ´ etait globalement d´ efini sur X (bien sˆ ur, ceci n’est
possible que si E est globalement trivial). Par abus d’´ ecriture, nous utiliserons
quand mˆ eme cette notation car elle souligne clairement la d´ ependance de la norme
L
2 en fonction du poids psh.
15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg
Nous introduisons d’abord le concept de faisceau d’id´ eaux multiplicateurs,
suivant A. Nadel [Nad89]. L’id´ ee principale remonte en fait aux travaux fondamentaux de E. Bombieri [Bom70] et H. Skoda [Sko72].
15.1. D´ efinition. Soit ϕ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ X ; on associe ` a ϕ le
faisceau d’id´ eaux I(ϕ) ⊂ O Ω , form´ e des germes de fonctions holomorphes f ∈ O Ω,x
telles que |f |
2 e
−2ϕ soit int´ egrable par rapport ` a la mesure de Lebesgue dans
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
(on suppose donc g(x) = 0 presque partout aux points o` u γ 1 (x) + · · · + γ q (x) = 0),
il existe f ∈ L
2 (X, Λ
n,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ f = g et
2
X
|f |
2 dV ω
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω .
Preuve. En effet, pour p = n, la formule (13.6) montre que
Au, u (γ 1 + · · · + γ q )|u|
2 ,
donc A
−1 u, u (γ 1 + · · · + γ q )
−1 |u|
2 .
Une observation importante est que le th´ eor` eme ci-dessus s’applique encore
quand la m´ etrique hermitienne de E est une m´ etrique singuli` ere ` a courbure positive
au sens des courants. En effet, par les techniques standard de r´ egularisation
(convolution des fonctions psh par des noyaux r´ egularisants), la m´ etrique peut
ˆ etre rendue C
∞ et les solutions obtenues au moyen des th´ eor` emes (14.1) ou (14.2)
pour les m´ etriques r´ egularis´ ees ont des limites satisfaisant les estimations d´ esir´ ees.
En particulier, nous obtenons le corollaire suivant.
14.3. Corollaire. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, dim X = n. Supposons que
X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibr´ e en droites holomorphe muni
d’une m´ etrique singuli` ere dont le poids local est not´ e ϕ ∈ L
1
loc . Supposons que
i Θ(E) = 2i d
′ d
′′ ϕ εω
pour un certain ε > 0. Alors pour toute forme g ∈ L
2 (X, Λ
n,q T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ g = 0, il existe f ∈ L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que D
′′ f = g et
X
|f |
2 e
−2ϕ dV ω
1
qε
X
|g|
2 e
−2ϕ dV ω .
Nous avons not´ e ici de fa¸ con quelque peu incorrecte la m´ etrique sous la forme
|f |
2 e
−2ϕ , comme si le poids ϕ ´ etait globalement d´ efini sur X (bien sˆ ur, ceci n’est
possible que si E est globalement trivial). Par abus d’´ ecriture, nous utiliserons
quand mˆ eme cette notation car elle souligne clairement la d´ ependance de la norme
L
2 en fonction du poids psh.
15. Th´ eor` emes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg
Nous introduisons d’abord le concept de faisceau d’id´ eaux multiplicateurs,
suivant A. Nadel [Nad89]. L’id´ ee principale remonte en fait aux travaux fondamentaux de E. Bombieri [Bom70] et H. Skoda [Sko72].
15.1. D´ efinition. Soit ϕ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ X ; on associe ` a ϕ le
faisceau d’id´ eaux I(ϕ) ⊂ O Ω , form´ e des germes de fonctions holomorphes f ∈ O Ω,x
telles que |f |
2 e
−2ϕ soit int´ egrable par rapport ` a la mesure de Lebesgue dans