14. Estimations L 2 et th´ eor` emes d’existence
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sur l’image de D
′′⋆ . Cette forme lin´ eaire est continue par rapport ` a la norme L
2 ,
et sa norme est C avec
C =
X
A
−1 g, g dV ω
1/2
.
D’apr` es le th´ eor` eme de Hahn-Banach, il existe un ´ el´ ement f ∈ L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗E)
tel que ||f || C et v, g = D
′′⋆ v, f pour tout v, par suite D
′′ f = g au sens
des distributions. L’in´ egalit´ e ||f || C est ´ equivalente ` a la derni` ere estimation du
th´ eor` eme.
Le th´ eor` eme d’existence L
2 pr´ ec´ edent peut ˆ etre appliqu´ e dans le contexte g´ en´ eral des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes (voir d´ efinition
(12.9)), et ce mˆ eme si la m´ etrique k¨ ahl´ erienne consid´ er´ ee ω n’est pas compl` ete.
En effet, d’apr` es la proposition (12.10), on obtient des m´ etriques k¨ ahl´ eriennes
compl` etes en posant
ω ε = ω + ε i d
′ d
′′ ψ
2 = ω + 2ε(2i ψd
′ d
′′ ψ + i d
′ ψ ∧ d
′′ ψ)
avec une fonction d’exhaustion C
∞ psh ψ 0. Par cons´ equent, le th´ eor` eme
d’existence L
2 (14.1) s’applique ` a chaque m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω ε . On v´ erifie
par ailleurs (les calculs sont laiss´ es au lecteur !) que les quantit´ es |g|
2
ω dV ω et
(A
p,q
E,ω )
−1 g, g ω dV ω sont fonctions d´ ecroissantes de ω lorsque p = n = dim C X.
Pour une forme D
′′ -ferm´ ee g de bidegr´ e (n, q) on obtient donc des solutions f ε de
l’´ equation D
′′ f ε = g telles que
X
|f ε |
2
ω ε
dV ω ε
X
(A
p,q
E,ω ε
)
−1 g, g ω ε dV ω ε
X
(A
p,q
E,ω )
−1 g, g ω dV ω .
Ces solutions f ε ´ etant born´ ees uniform´ ement en norme L
2 sur tout compact, on
peut en extraire une sous-suite faiblement convergente dans L
2 . La limite f est
solution de D
′′ f = g et satisfait l’estimation L
2 voulue relativement ` a la m´ etrique
ω initialement donn´ ee (qui, r´ ep´ etons-le, n’est pas n´ ecessairement compl` ete). Un
cas particulier important est le suivant :
14.2. Th´ eor` eme. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, dim X = n. Supposons que
X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibr´ e en droites hermitien et soient
γ 1 (x) · · · γ n (x)
les valeurs propres de courbure (i.e. les valeurs propres de i Θ(E) par rapport ` a
la m´ etrique ω) en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e.
γ 1 0 partout. Alors pour toute forme g ∈ L
2 (X, Λ
n,q T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ g = 0 et
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω < +∞,
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sur l’image de D
′′⋆ . Cette forme lin´ eaire est continue par rapport ` a la norme L
2 ,
et sa norme est C avec
C =
X
A
−1 g, g dV ω
1/2
.
D’apr` es le th´ eor` eme de Hahn-Banach, il existe un ´ el´ ement f ∈ L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗E)
tel que ||f || C et v, g = D
′′⋆ v, f pour tout v, par suite D
′′ f = g au sens
des distributions. L’in´ egalit´ e ||f || C est ´ equivalente ` a la derni` ere estimation du
th´ eor` eme.
Le th´ eor` eme d’existence L
2 pr´ ec´ edent peut ˆ etre appliqu´ e dans le contexte g´ en´ eral des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes (voir d´ efinition
(12.9)), et ce mˆ eme si la m´ etrique k¨ ahl´ erienne consid´ er´ ee ω n’est pas compl` ete.
En effet, d’apr` es la proposition (12.10), on obtient des m´ etriques k¨ ahl´ eriennes
compl` etes en posant
ω ε = ω + ε i d
′ d
′′ ψ
2 = ω + 2ε(2i ψd
′ d
′′ ψ + i d
′ ψ ∧ d
′′ ψ)
avec une fonction d’exhaustion C
∞ psh ψ 0. Par cons´ equent, le th´ eor` eme
d’existence L
2 (14.1) s’applique ` a chaque m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω ε . On v´ erifie
par ailleurs (les calculs sont laiss´ es au lecteur !) que les quantit´ es |g|
2
ω dV ω et
(A
p,q
E,ω )
−1 g, g ω dV ω sont fonctions d´ ecroissantes de ω lorsque p = n = dim C X.
Pour une forme D
′′ -ferm´ ee g de bidegr´ e (n, q) on obtient donc des solutions f ε de
l’´ equation D
′′ f ε = g telles que
X
|f ε |
2
ω ε
dV ω ε
X
(A
p,q
E,ω ε
)
−1 g, g ω ε dV ω ε
X
(A
p,q
E,ω )
−1 g, g ω dV ω .
Ces solutions f ε ´ etant born´ ees uniform´ ement en norme L
2 sur tout compact, on
peut en extraire une sous-suite faiblement convergente dans L
2 . La limite f est
solution de D
′′ f = g et satisfait l’estimation L
2 voulue relativement ` a la m´ etrique
ω initialement donn´ ee (qui, r´ ep´ etons-le, n’est pas n´ ecessairement compl` ete). Un
cas particulier important est le suivant :
14.2. Th´ eor` eme. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, dim X = n. Supposons que
X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibr´ e en droites hermitien et soient
γ 1 (x) · · · γ n (x)
les valeurs propres de courbure (i.e. les valeurs propres de i Θ(E) par rapport ` a
la m´ etrique ω) en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e.
γ 1 0 partout. Alors pour toute forme g ∈ L
2 (X, Λ
n,q T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ g = 0 et
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω < +∞,