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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
14.1. Th´ eor` eme. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compl` ete. Soit E un fibr´ e
vectoriel hermitien de rang r sur X, tel que l’op´ erateur de courbure A = A
p,q
E,ω =
[i Θ(E), Λ ω ] soit semi-positif sur toutes les fibres de Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E, q 1. Soit
g ∈ L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) une forme telle que
D
′′ g = 0 et
X
A
−1 g, g dV ω < +∞
(aux points o` u A n’est pas d´ efini positif, on suppose qu’un ant´ ec´ edent A
−1 g existe
presque partout; on choisit alors l’ant´ ec´ edent A
−1 g de norme minimale, orthogonal
` a Ker A). Alors il existe f ∈ L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ f = g et
X
|f |
2 dV ω
X
A
−1 g, g dV ω .
Preuve. Soit u ∈ L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗E) une forme telle que D
′′ u ∈ L
2 et D
′′⋆ u ∈ L
2 au
sens des distributions. Le lemme (12.2 a) montre (sous l’hypoth` ese indispensable
que ω est compl` ete) que u est limite d’une suite de formes u ν de classe C
∞ et ` a
support compact, de telle mani` ere que u ν → u, D
′′ u ν → D
′′ u et D
′′⋆ u ν → D
′′⋆ u
dans L
2 . Il s’ensuit que l’in´ egalit´ e a priori (13.3) s’´ etend ` a des formes arbitraires
u telles que u, D
′′ u, D
′′⋆ u ∈ L
2 . Maintenant, comme Ker D
′′ est faiblement (et
donc fortement) ferm´ e, on obtient une d´ ecomposition orthogonale de l’espace de
Hilbert L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E), ` a savoir
L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) = Ker D
′′ ⊕ (Ker D
′′ )
⊥ .
Soit v = v 1 + v 2 la d´ ecomposition correspondante d’une forme v ∈ D
p,q (X, E) de
classe C
∞ ` a support compact (en g´ en´ eral, v 1 , v 2 ne sont pas ` a support compact !).
Puisque (Ker D
′′ )
⊥ = Im D ′′⋆ ⊂ Ker D
′′⋆ par dualit´ e et g, v 1 ∈ Ker D
′′ par
hypoth` ese, nous obtenons D
′′⋆ v 2 = 0 et
||g, v|
2 = ||g, v 1 |
2
X
A
−1 g, g dV ω
X
Av 1 , v 1 dV ω
grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz. L’in´ egalit´ e a priori (13.3) appliqu´ ee ` a u = v 1
donne
X
Av 1 , v 1 dV ω D
′′ v 1
2 + D
′′⋆ v 1
2 = D
′′⋆ v 1
2 = D
′′⋆ v
2 .
En combinant les deux in´ egalit´ es, nous trouvons
||g, v|
2
X
A
−1 g, g dV ω
D
′′⋆ v
2
pour toute (p, q)-forme v de classe C
∞ ` a support compact. Ceci montre qu’on a
une forme lin´ eaire bien d´ efinie
w = D
′′⋆ v −→ →v, g,
L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗ E) ⊃ D
′′⋆ (D
p,q (E)) −→ C
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
14.1. Th´ eor` eme. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compl` ete. Soit E un fibr´ e
vectoriel hermitien de rang r sur X, tel que l’op´ erateur de courbure A = A
p,q
E,ω =
[i Θ(E), Λ ω ] soit semi-positif sur toutes les fibres de Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E, q 1. Soit
g ∈ L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) une forme telle que
D
′′ g = 0 et
X
A
−1 g, g dV ω < +∞
(aux points o` u A n’est pas d´ efini positif, on suppose qu’un ant´ ec´ edent A
−1 g existe
presque partout; on choisit alors l’ant´ ec´ edent A
−1 g de norme minimale, orthogonal
` a Ker A). Alors il existe f ∈ L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′ f = g et
X
|f |
2 dV ω
X
A
−1 g, g dV ω .
Preuve. Soit u ∈ L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗E) une forme telle que D
′′ u ∈ L
2 et D
′′⋆ u ∈ L
2 au
sens des distributions. Le lemme (12.2 a) montre (sous l’hypoth` ese indispensable
que ω est compl` ete) que u est limite d’une suite de formes u ν de classe C
∞ et ` a
support compact, de telle mani` ere que u ν → u, D
′′ u ν → D
′′ u et D
′′⋆ u ν → D
′′⋆ u
dans L
2 . Il s’ensuit que l’in´ egalit´ e a priori (13.3) s’´ etend ` a des formes arbitraires
u telles que u, D
′′ u, D
′′⋆ u ∈ L
2 . Maintenant, comme Ker D
′′ est faiblement (et
donc fortement) ferm´ e, on obtient une d´ ecomposition orthogonale de l’espace de
Hilbert L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E), ` a savoir
L
2 (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) = Ker D
′′ ⊕ (Ker D
′′ )
⊥ .
Soit v = v 1 + v 2 la d´ ecomposition correspondante d’une forme v ∈ D
p,q (X, E) de
classe C
∞ ` a support compact (en g´ en´ eral, v 1 , v 2 ne sont pas ` a support compact !).
Puisque (Ker D
′′ )
⊥ = Im D ′′⋆ ⊂ Ker D
′′⋆ par dualit´ e et g, v 1 ∈ Ker D
′′ par
hypoth` ese, nous obtenons D
′′⋆ v 2 = 0 et
||g, v|
2 = ||g, v 1 |
2
X
A
−1 g, g dV ω
X
Av 1 , v 1 dV ω
grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz. L’in´ egalit´ e a priori (13.3) appliqu´ ee ` a u = v 1
donne
X
Av 1 , v 1 dV ω D
′′ v 1
2 + D
′′⋆ v 1
2 = D
′′⋆ v 1
2 = D
′′⋆ v
2 .
En combinant les deux in´ egalit´ es, nous trouvons
||g, v|
2
X
A
−1 g, g dV ω
D
′′⋆ v
2
pour toute (p, q)-forme v de classe C
∞ ` a support compact. Ceci montre qu’on a
une forme lin´ eaire bien d´ efinie
w = D
′′⋆ v −→ →v, g,
L
2 (X, Λ
p,q−1 T
⋆
X ⊗ E) ⊃ D
′′⋆ (D
p,q (E)) −→ C