14. Estimations L 2 et th´ eor` emes d’existence
83
Par cons´ equent :
13.7. Th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano ([AN54]). Si E
est un fibr´ e en droites positif sur une vari´ et´ e complexe compacte X, alors
H
p,q (X, E) = H
q (X, Ω
p
X ⊗ E) = 0
pour p + q n + 1.
Plus g´ en´ eralement, si E est un fibr´ e vectoriel positif au sens de Griffiths (ou
ample), de rang r 1, Le Potier [LP75] a d´ emontr´ e que H
p,q (X, E) = 0 pour
p + q n + r. La preuve n’est pas une cons´ equence directe de la technique
de Bochner. Une preuve assez simple a ´ et´ e obtenue par M. Schneider [Sch74],
en utilisant la suite spectrale de Leray associ´ ee ` a la projection sur X du fibr´ e
projectivis´ e P(E) → X.
13.8. Exercice. Il est important pour diverses applications de disposer de
th´ eor` emes d’annulation qui soient ´ egalement valables dans le cas de fibr´ es en
droites semi-positifs. On a par exemple le r´ esultat suivant dˆ u ` a J. Girbau [Gir76] :
soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte ; supposons que E soit un fibr´ e en
droites et que i Θ(E) 0 ait au moins n − k valeurs propres positives en chaque
point, pour un certain entier k 0 ; alors H
p,q (X, E) = 0 pour p + q n + k + 1.
Indication : utiliser la m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω ε = i Θ(E) + εω avec ε > 0 petit.
Une version plus naturelle et plus puissante de ce r´ esultat a ´ et´ e obtenue par
A. Sommese [Som78, ShSo85] : suivant ces auteurs, on dira que E est k-ample si
un certain multiple mE est tel que l’application canonique
Φ |mE| : X B |mE| → P
N−1
a toutes ses fibres de dimension k et dim B |mE| k ; si X est projective et si E
est k-ample, alors H
p,q (X, E) = 0 pour p + q n + k + 1.
Indication : prouver le r´ esultat dual, ` a savoir que H
p,q (X, E
−1 ) = 0 pour
p + q n − k − 1, par r´ ecurrence sur k. Montrer d’abord que E est 0-ample
si et seulement si E est positif ; utiliser alors des sections hyperplanes Y ⊂ X pour
d´ emontrer l’´ etape de r´ ecurrence, en consid´ erant les suites exactes
0 −→ Ω
p
X ⊗ E
−1 ⊗ O(−Y ) −→ Ω
p
X ⊗ E
−1 −→
Ω
p
X ⊗ E
−1
↾Y
−→ 0,
0 −→ Ω
p−1
Y
⊗ E
−1
↾Y −→
Ω
p
X ⊗ E
−1
↾Y
−→ Ω
p
Y ⊗ E
−1
↾Y −→ 0.
14. Estimations L
2
et th´ eor` emes d’existence
Le point de d´ epart est le th´ eor` eme d’existence L
2 suivant, qui est dˆ u essentiellement ` a H¨ ormander [H¨ or65, 66], et Andreotti-Vesentini [AV65]. Nous en esquisserons seulement les id´ ees principales, en renvoyant par exemple ` a [Dem82]
pour un expos´ e d´ etaill´ e de la situation technique consid´ er´ ee ici.
83
Par cons´ equent :
13.7. Th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano ([AN54]). Si E
est un fibr´ e en droites positif sur une vari´ et´ e complexe compacte X, alors
H
p,q (X, E) = H
q (X, Ω
p
X ⊗ E) = 0
pour p + q n + 1.
Plus g´ en´ eralement, si E est un fibr´ e vectoriel positif au sens de Griffiths (ou
ample), de rang r 1, Le Potier [LP75] a d´ emontr´ e que H
p,q (X, E) = 0 pour
p + q n + r. La preuve n’est pas une cons´ equence directe de la technique
de Bochner. Une preuve assez simple a ´ et´ e obtenue par M. Schneider [Sch74],
en utilisant la suite spectrale de Leray associ´ ee ` a la projection sur X du fibr´ e
projectivis´ e P(E) → X.
13.8. Exercice. Il est important pour diverses applications de disposer de
th´ eor` emes d’annulation qui soient ´ egalement valables dans le cas de fibr´ es en
droites semi-positifs. On a par exemple le r´ esultat suivant dˆ u ` a J. Girbau [Gir76] :
soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte ; supposons que E soit un fibr´ e en
droites et que i Θ(E) 0 ait au moins n − k valeurs propres positives en chaque
point, pour un certain entier k 0 ; alors H
p,q (X, E) = 0 pour p + q n + k + 1.
Indication : utiliser la m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω ε = i Θ(E) + εω avec ε > 0 petit.
Une version plus naturelle et plus puissante de ce r´ esultat a ´ et´ e obtenue par
A. Sommese [Som78, ShSo85] : suivant ces auteurs, on dira que E est k-ample si
un certain multiple mE est tel que l’application canonique
Φ |mE| : X B |mE| → P
N−1
a toutes ses fibres de dimension k et dim B |mE| k ; si X est projective et si E
est k-ample, alors H
p,q (X, E) = 0 pour p + q n + k + 1.
Indication : prouver le r´ esultat dual, ` a savoir que H
p,q (X, E
−1 ) = 0 pour
p + q n − k − 1, par r´ ecurrence sur k. Montrer d’abord que E est 0-ample
si et seulement si E est positif ; utiliser alors des sections hyperplanes Y ⊂ X pour
d´ emontrer l’´ etape de r´ ecurrence, en consid´ erant les suites exactes
0 −→ Ω
p
X ⊗ E
−1 ⊗ O(−Y ) −→ Ω
p
X ⊗ E
−1 −→
Ω
p
X ⊗ E
−1
↾Y
−→ 0,
0 −→ Ω
p−1
Y
⊗ E
−1
↾Y −→
Ω
p
X ⊗ E
−1
↾Y
−→ Ω
p
Y ⊗ E
−1
↾Y −→ 0.
14. Estimations L
2
et th´ eor` emes d’existence
Le point de d´ epart est le th´ eor` eme d’existence L
2 suivant, qui est dˆ u essentiellement ` a H¨ ormander [H¨ or65, 66], et Andreotti-Vesentini [AV65]. Nous en esquisserons seulement les id´ ees principales, en renvoyant par exemple ` a [Dem82]
pour un expos´ e d´ etaill´ e de la situation technique consid´ er´ ee ici.