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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
o` u les sommations sont ´ etendues ` a tous les indices 1 j, k n, 1 λ, µ r et
tous les multi-indices |J| = p, |K| = q, |R| = p − 1, |S| = q − 1 (ici la notation
u JKλ s’applique ` a des multi-indices non n´ ecessairement croissants, on convient que
le signe de ce coefficient est altern´ e sous l’action des permutations). Compte tenu
de la complexit´ e du terme de courbure (13.4), le signe de ce terme est en g´ en´ eral
difficile ` a ´ elucider, sauf dans quelques cas tr` es particuliers.
Le cas le plus simple est le cas p = n. Tous les termes de la deuxi` eme sommation
figurant dans (13.4) sont alors tels que j = k et R = {1, . . . , n} {j}, par
cons´ equent les deuxi` emes et troisi` emes sommations sont ´ egales. Il s’ensuit que
[i Θ(E), Λ]u, u =
j,k,λ,µ,J,S
c jkλµ u J,jS,λ u J,kS,µ
est positive sur les (n, q)-formes, sous l’hypoth` ese que E est positif au sens de
Nakano. Dans ce cas, X est automatiquement k¨ ahl´ erienne puisque
ω = Tr E (i Θ(E)) = i
j,k,λ
c jkλλ dz j ∧ dz k = i Θ(det E)
d´ efinit alors une m´ etrique k¨ ahl´ erienne.
13.5. Th´ eor` eme d’annulation de Nakano (1955). Soit X une vari´ et´ e complexe
compacte et soit E un fibr´ e vectoriel positif au sens de Nakano sur X. Alors
H
n,q (X, E) = H
q (X, K X ⊗ E) = 0
pour tout q 1.
Un autre cas abordable est le cas o` u E est un fibr´ e en droites (r = 1). En effet,
en chaque point x ∈ X, nous pouvons alors choisir un syst` eme de coordonn´ ees
qui diagonalise simultan´ ement les formes hermitiennes ω(x) et Θ(E)(x), de telle
mani` ere que
ω(x) = i
1jn
dz j ∧ dz j ,
Θ(E)(x) = i
1jn
γ j dz j ∧ dz j
avec γ 1 · · · γ n . Les valeurs propres de courbure γ j = γ j (x) sont alors d´ efinies
de mani` ere unique et d´ ependent continˆ ument de x. Dans les notations ant´ erieures,
nous avons γ j = c jj11 et tous les autres coefficients c jkλµ sont nuls. Pour toute
(p, q)-forme u =
u JK dz J ∧ dz K ⊗ e 1 , ceci donne
[i Θ(E), Λ]u, u =
|J|=p, |K|=q
j∈J
γ j +
j∈K
γ j −
1jn
γ j
|u JK |
2
(γ 1 + · · · + γ q − γ n−p+1 − · · · − γ n )|u|
2 .
(13.6)
Supposons que i Θ(E) soit positive. Il est alors naturel de munir X de la m´ etrique
k¨ ahl´ erienne particuli` ere ω = i Θ(E). Alors γ j = 1 pour j = 1, 2, . . . , n et on
obtient
[i Θ(E), Λ]u, u = (p + q − n)|u|
2 .
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
o` u les sommations sont ´ etendues ` a tous les indices 1 j, k n, 1 λ, µ r et
tous les multi-indices |J| = p, |K| = q, |R| = p − 1, |S| = q − 1 (ici la notation
u JKλ s’applique ` a des multi-indices non n´ ecessairement croissants, on convient que
le signe de ce coefficient est altern´ e sous l’action des permutations). Compte tenu
de la complexit´ e du terme de courbure (13.4), le signe de ce terme est en g´ en´ eral
difficile ` a ´ elucider, sauf dans quelques cas tr` es particuliers.
Le cas le plus simple est le cas p = n. Tous les termes de la deuxi` eme sommation
figurant dans (13.4) sont alors tels que j = k et R = {1, . . . , n} {j}, par
cons´ equent les deuxi` emes et troisi` emes sommations sont ´ egales. Il s’ensuit que
[i Θ(E), Λ]u, u =
j,k,λ,µ,J,S
c jkλµ u J,jS,λ u J,kS,µ
est positive sur les (n, q)-formes, sous l’hypoth` ese que E est positif au sens de
Nakano. Dans ce cas, X est automatiquement k¨ ahl´ erienne puisque
ω = Tr E (i Θ(E)) = i
j,k,λ
c jkλλ dz j ∧ dz k = i Θ(det E)
d´ efinit alors une m´ etrique k¨ ahl´ erienne.
13.5. Th´ eor` eme d’annulation de Nakano (1955). Soit X une vari´ et´ e complexe
compacte et soit E un fibr´ e vectoriel positif au sens de Nakano sur X. Alors
H
n,q (X, E) = H
q (X, K X ⊗ E) = 0
pour tout q 1.
Un autre cas abordable est le cas o` u E est un fibr´ e en droites (r = 1). En effet,
en chaque point x ∈ X, nous pouvons alors choisir un syst` eme de coordonn´ ees
qui diagonalise simultan´ ement les formes hermitiennes ω(x) et Θ(E)(x), de telle
mani` ere que
ω(x) = i
1jn
dz j ∧ dz j ,
Θ(E)(x) = i
1jn
γ j dz j ∧ dz j
avec γ 1 · · · γ n . Les valeurs propres de courbure γ j = γ j (x) sont alors d´ efinies
de mani` ere unique et d´ ependent continˆ ument de x. Dans les notations ant´ erieures,
nous avons γ j = c jj11 et tous les autres coefficients c jkλµ sont nuls. Pour toute
(p, q)-forme u =
u JK dz J ∧ dz K ⊗ e 1 , ceci donne
[i Θ(E), Λ]u, u =
|J|=p, |K|=q
j∈J
γ j +
j∈K
γ j −
1jn
γ j
|u JK |
2
(γ 1 + · · · + γ q − γ n−p+1 − · · · − γ n )|u|
2 .
(13.6)
Supposons que i Θ(E) soit positive. Il est alors naturel de munir X de la m´ etrique
k¨ ahl´ erienne particuli` ere ω = i Θ(E). Alors γ j = 1 pour j = 1, 2, . . . , n et on
obtient
[i Θ(E), Λ]u, u = (p + q − n)|u|
2 .