13. Technique de Bochner et th´ eor` emes d’annulation
81
L’identit´ e de Jacobi implique
D
′′ , [Λ, D
′ ]
=
Λ, [D
′ , D
′′ ]] +
D
′ , [D
′′ , Λ]
= [Λ, Θ(E)] + i[D
′ , D
′⋆ ],
si l’on tient compte du fait que [D
′ , D
′′ ] = D
2 = Θ(E). L’identit´ e annonc´ ee
s’ensuit.
Supposons que X soit compacte et soit u ∈ C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) une (p, q)forme arbitraire. Une int´ egration par parties donne
∆
′ u, u = D
′ u
2 + D
′⋆ u
2
0,
et on a une ´ egalit´ e analogue pour ∆
′′ . De l’identit´ e de Bochner-Kodaira-Nakano,
on d´ eduit l’in´ egalit´ e a priori
(13.3)
D
′′ u
2 + D
′′⋆ u
2
X
[i Θ(E), Λ]u, udV ω .
Cette in´ egalit´ e est connue sous le nom d’in´ egalit´ e de Bochner-Kodaira-Nakano
(voir [Boc48], [Kod53], [Nak55]). Lorsque u est ∆
′′ -harmonique, on obtient
X
[i Θ(E), Λ]u, u dV 0.
Si l’op´ erateur hermitien [i Θ(E), Λ] est positif sur chaque fibre de Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E, on
voit que u est n´ ecessairement nulle, donc
H
p,q (X, E) = H
p,q (X, E) = 0
d’apr` es la th´ eorie de Hodge. Dans cette approche, le point essentiel est de savoir
calculer la forme de courbure Θ(E) et de trouver des conditions suffisantes pour
que l’op´ erateur [i Θ(E), Λ] soit d´ efini positif. Des calculs ´ el´ ementaires (quelque peu
p´ enibles) donnent la formule suivante : si la courbure de E est ´ ecrite sous la forme
(11.16) et si
u =
u J,K,λ dz I ∧ dz J ⊗ e λ ,
|J| = p, |K| = q, 1 λ r
est une (p, q)-forme ` a valeurs dans E, alors
[i Θ(E), Λ]u, u =
j,k,λ,µ,J,S
c jkλµ u J,jS,λ u J,kS,µ
(13.4)
+
j,k,λ,µ,R,K
c jkλµ u kR,K,λ u jR,K,µ
−
j,λ,µ,J,K
c jjλµ u J,K,λ u J,K,µ ,
81
L’identit´ e de Jacobi implique
D
′′ , [Λ, D
′ ]
=
Λ, [D
′ , D
′′ ]] +
D
′ , [D
′′ , Λ]
= [Λ, Θ(E)] + i[D
′ , D
′⋆ ],
si l’on tient compte du fait que [D
′ , D
′′ ] = D
2 = Θ(E). L’identit´ e annonc´ ee
s’ensuit.
Supposons que X soit compacte et soit u ∈ C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E) une (p, q)forme arbitraire. Une int´ egration par parties donne
∆
′ u, u = D
′ u
2 + D
′⋆ u
2
0,
et on a une ´ egalit´ e analogue pour ∆
′′ . De l’identit´ e de Bochner-Kodaira-Nakano,
on d´ eduit l’in´ egalit´ e a priori
(13.3)
D
′′ u
2 + D
′′⋆ u
2
X
[i Θ(E), Λ]u, udV ω .
Cette in´ egalit´ e est connue sous le nom d’in´ egalit´ e de Bochner-Kodaira-Nakano
(voir [Boc48], [Kod53], [Nak55]). Lorsque u est ∆
′′ -harmonique, on obtient
X
[i Θ(E), Λ]u, u dV 0.
Si l’op´ erateur hermitien [i Θ(E), Λ] est positif sur chaque fibre de Λ
p,q T
⋆
X ⊗ E, on
voit que u est n´ ecessairement nulle, donc
H
p,q (X, E) = H
p,q (X, E) = 0
d’apr` es la th´ eorie de Hodge. Dans cette approche, le point essentiel est de savoir
calculer la forme de courbure Θ(E) et de trouver des conditions suffisantes pour
que l’op´ erateur [i Θ(E), Λ] soit d´ efini positif. Des calculs ´ el´ ementaires (quelque peu
p´ enibles) donnent la formule suivante : si la courbure de E est ´ ecrite sous la forme
(11.16) et si
u =
u J,K,λ dz I ∧ dz J ⊗ e λ ,
|J| = p, |K| = q, 1 λ r
est une (p, q)-forme ` a valeurs dans E, alors
[i Θ(E), Λ]u, u =
j,k,λ,µ,J,S
c jkλµ u J,jS,λ u J,kS,µ
(13.4)
+
j,k,λ,µ,R,K
c jkλµ u kR,K,λ u jR,K,µ
−
j,λ,µ,J,K
c jjλµ u J,K,λ u J,K,µ ,