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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Comme les deux membres ont la mˆ eme dimension par le th´ eor` eme de dualit´ e de
Serre et la sym´ etrie de Hodge, cette application est n´ ecessairement un isomorphisme.
12.22. Remarque. Puisque l’isomorphisme de Lefschetz (12.21) peut se factoriser
` a travers H
p,q (X, C) ou ` a travers H
n−q,n−p
c
(X, C), on d´ eduit de celui-ci que les
morphismes naturels
H
p,q
c (X, C) −→ H
p,q (X, C)
sont injectifs pour p + q n − ℓ et surjectifs pour p + q n + ℓ. Bien entendu,
on a des propri´ et´ es enti` erement analogues pour les groupes de cohomologie de De
Rham.
13. Technique de Bochner et th´ eor` emes d’annulation
Soit X une vari´ et´ e complexe munie d’une m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω =
ω jk dz j ∧
dz k . Soit (E, h) un fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien sur X. Nous notons
D = D
′ + D
′′ sa connexion de Chern et Θ(E) le tenseur de courbure associ´ e.
13.1. Relations de commutation de base. Soit L l’op´ erateur Lu = ω ∧ u
agissant sur les formes ` a valeurs vectorielles et soit Λ = L
⋆ son adjoint. Alors
[D
′′⋆ , L] = i d
′ ,
[Λ, D
′′ ] = −i d
′⋆ ,
[D
′⋆ , L] = −i d
′′ ,
[Λ, D
′ ] = i d
′′⋆ .
Preuve (abr´ eg´ ee). C’est une cons´ equence assez simple de la relation de commutation (6.14) d´ ej` a d´ emontr´ ee pour la connexion triviale d = d
′ + d
′′ sur E = X × C.
En effet, pour tout point x 0 ∈ X, il existe un rep` ere holomorphe local (e λ ) 1λr
de E tel que
e λ , e µ = δ λµ + O(|z|
2 ).
(La preuve est enti` erement similaire ` a celle du th´ eor` eme 5.8). Pour s =
s λ ⊗ e λ
avec s λ ∈ C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ), nous obtenons
D
′′ s =
d
′′ s λ ⊗ e λ + O(|z|),
D
′′⋆ s =
d
′′⋆ s λ ⊗ e λ + O(|z|).
Les relations annonc´ ees s’ensuivent ais´ ement.
13.2. Identit´ e de Bochner-Kodaira-Nakano. Si (X, ω) est une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, les laplaciens complexes ∆
′ et ∆
′′ agissant sur les formes ` a valeurs dans E
satisfont l’identit´ e
∆
′′ = ∆
′ + [i Θ(E), Λ].
Preuve. La derni` ere ´ egalit´ e (13.1) donne D
′′⋆ = −i[Λ, D
′ ], donc
∆
′′ = [D
′′ , D
′′⋆ ] = −i[D
′′ ,
Λ, D
′ ]
.
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Comme les deux membres ont la mˆ eme dimension par le th´ eor` eme de dualit´ e de
Serre et la sym´ etrie de Hodge, cette application est n´ ecessairement un isomorphisme.
12.22. Remarque. Puisque l’isomorphisme de Lefschetz (12.21) peut se factoriser
` a travers H
p,q (X, C) ou ` a travers H
n−q,n−p
c
(X, C), on d´ eduit de celui-ci que les
morphismes naturels
H
p,q
c (X, C) −→ H
p,q (X, C)
sont injectifs pour p + q n − ℓ et surjectifs pour p + q n + ℓ. Bien entendu,
on a des propri´ et´ es enti` erement analogues pour les groupes de cohomologie de De
Rham.
13. Technique de Bochner et th´ eor` emes d’annulation
Soit X une vari´ et´ e complexe munie d’une m´ etrique k¨ ahl´ erienne ω =
ω jk dz j ∧
dz k . Soit (E, h) un fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien sur X. Nous notons
D = D
′ + D
′′ sa connexion de Chern et Θ(E) le tenseur de courbure associ´ e.
13.1. Relations de commutation de base. Soit L l’op´ erateur Lu = ω ∧ u
agissant sur les formes ` a valeurs vectorielles et soit Λ = L
⋆ son adjoint. Alors
[D
′′⋆ , L] = i d
′ ,
[Λ, D
′′ ] = −i d
′⋆ ,
[D
′⋆ , L] = −i d
′′ ,
[Λ, D
′ ] = i d
′′⋆ .
Preuve (abr´ eg´ ee). C’est une cons´ equence assez simple de la relation de commutation (6.14) d´ ej` a d´ emontr´ ee pour la connexion triviale d = d
′ + d
′′ sur E = X × C.
En effet, pour tout point x 0 ∈ X, il existe un rep` ere holomorphe local (e λ ) 1λr
de E tel que
e λ , e µ = δ λµ + O(|z|
2 ).
(La preuve est enti` erement similaire ` a celle du th´ eor` eme 5.8). Pour s =
s λ ⊗ e λ
avec s λ ∈ C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ), nous obtenons
D
′′ s =
d
′′ s λ ⊗ e λ + O(|z|),
D
′′⋆ s =
d
′′⋆ s λ ⊗ e λ + O(|z|).
Les relations annonc´ ees s’ensuivent ais´ ement.
13.2. Identit´ e de Bochner-Kodaira-Nakano. Si (X, ω) est une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, les laplaciens complexes ∆
′ et ∆
′′ agissant sur les formes ` a valeurs dans E
satisfont l’identit´ e
∆
′′ = ∆
′ + [i Θ(E), Λ].
Preuve. La derni` ere ´ egalit´ e (13.1) donne D
′′⋆ = −i[Λ, D
′ ], donc
∆
′′ = [D
′′ , D
′′⋆ ] = −i[D
′′ ,
Λ, D
′ ]
.