12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
79
une fonction tronquante telle que θ(t) = 1 pour t 1/2, θ(t) = 0 pour t 1 et
|θ
′ | 3. Alors
d
′′
θ(εψ)v
= θ(εψ)d
′′ v + εθ
′ (εψ)d
′′ ψ ∧ v.
D’apr` es la preuve du lemme (12.15), il existe une fonction continue C(x) > 0 telle
que |v|
2
ω χ
dV ω χ C
1+χ
′′ (ψ)/χ
′ (ψ)
|v|
2
ω dV ω , alors que |d
′′ ψ|
2
ω χ
1/χ
′′ (ψ) d’apr` es
la d´ efinition mˆ eme de ω χ . Nous voyons donc que l’int´ egrale
X
|θ
′ (εψ)d
′′ ψ ∧ v|
2
ω χ
dV ω χ
X
C
1/χ
′′ (ψ) + 1/χ
′ (ψ)
|v|
2 dV
est finie pour χ assez grand, et par convergence domin´ ee d
′′
θ(εψ)v
converge vers
d
′′ v = u dans L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ).
La dualit´ e de Poincar´ e et de Serre montre que les espaces H
k
DR, c (X, C)
et H
p,q
c (X, C) ` a support compact sont duaux des espaces H
2n−k
DR (X, C) et
H
n−p,n−q (X, C) d` es lors que ces derniers sont s´ epar´ es de de dimension finie, ce
qui est bien le cas si k = p + q n − ℓ. Nous obtenons donc une d´ ecomposition de
Hodge duale
(12.18) H
k
c (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q
c (X, C), H
p,q
c (X, C) ≃ H
q,p
c (X, C), k n − ℓ.
Il est par ailleurs facile de prouver que l’isomorphisme de Lefschetz
(12.19)
ω
n−p−q
χ
∧ • : H
p,q
ω χ (X, C) −→ H
n−q,n−p
ω χ
(X, C)
donne ` a la limite un isomorphisme entre la cohomologie ` a support compact et
la cohomologie sans supports (ce r´ esultat est dˆ u ` a Ohsawa [Ohs81]). En effet, si
p + q n − ℓ, le morphisme naturel
(12.20)
H
p,q
c (X, C) = Ker D
′′
D / Im D
′′
D −→ Ker D
′′
ω χ
/Im D ′′
ω χ
≃ H
p,q
ω χ
(X)
est dual du morphisme H
n−p,n−q
ω χ
(X, C) −→ H
n−p,n−q (X, C), qui est surjectif pour
χ assez grand d’apr` es le lemme (12.17) et la finitude du groupe H
n−p,n−q (X, C).
Donc (12.20) est injectif pour χ grand, et apr` es composition avec l’isomorphisme
de Lefschetz (12.19) nous obtenons une injection
ω
n−p−q ∧ • = ω
n−p−q
χ
∧ • : H
p,q
c (X, C) −→ H
n−q,n−p
L 2 , ω χ
(X, C) sep ≃ H
n−q,n−p
ω χ
(X, C)
(l’´ egalit´ e ω
n−p−q ∧ • = ω
n−p−q
χ
∧ • r´ esulte du fait que ω χ a mˆ eme classe de
cohomologie que ω). En prenant la limite inductive sur χ et en combinant avec
l’isomorphisme limite (12.16), on obtient une application injective
(12.21)
ω
n−p−q ∧ • : H
p,q
c (X, C) −→ H
n−q,n−p (X, C), p + q n − ℓ.
79
une fonction tronquante telle que θ(t) = 1 pour t 1/2, θ(t) = 0 pour t 1 et
|θ
′ | 3. Alors
d
′′
θ(εψ)v
= θ(εψ)d
′′ v + εθ
′ (εψ)d
′′ ψ ∧ v.
D’apr` es la preuve du lemme (12.15), il existe une fonction continue C(x) > 0 telle
que |v|
2
ω χ
dV ω χ C
1+χ
′′ (ψ)/χ
′ (ψ)
|v|
2
ω dV ω , alors que |d
′′ ψ|
2
ω χ
1/χ
′′ (ψ) d’apr` es
la d´ efinition mˆ eme de ω χ . Nous voyons donc que l’int´ egrale
X
|θ
′ (εψ)d
′′ ψ ∧ v|
2
ω χ
dV ω χ
X
C
1/χ
′′ (ψ) + 1/χ
′ (ψ)
|v|
2 dV
est finie pour χ assez grand, et par convergence domin´ ee d
′′
θ(εψ)v
converge vers
d
′′ v = u dans L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ).
La dualit´ e de Poincar´ e et de Serre montre que les espaces H
k
DR, c (X, C)
et H
p,q
c (X, C) ` a support compact sont duaux des espaces H
2n−k
DR (X, C) et
H
n−p,n−q (X, C) d` es lors que ces derniers sont s´ epar´ es de de dimension finie, ce
qui est bien le cas si k = p + q n − ℓ. Nous obtenons donc une d´ ecomposition de
Hodge duale
(12.18) H
k
c (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q
c (X, C), H
p,q
c (X, C) ≃ H
q,p
c (X, C), k n − ℓ.
Il est par ailleurs facile de prouver que l’isomorphisme de Lefschetz
(12.19)
ω
n−p−q
χ
∧ • : H
p,q
ω χ (X, C) −→ H
n−q,n−p
ω χ
(X, C)
donne ` a la limite un isomorphisme entre la cohomologie ` a support compact et
la cohomologie sans supports (ce r´ esultat est dˆ u ` a Ohsawa [Ohs81]). En effet, si
p + q n − ℓ, le morphisme naturel
(12.20)
H
p,q
c (X, C) = Ker D
′′
D / Im D
′′
D −→ Ker D
′′
ω χ
/Im D ′′
ω χ
≃ H
p,q
ω χ
(X)
est dual du morphisme H
n−p,n−q
ω χ
(X, C) −→ H
n−p,n−q (X, C), qui est surjectif pour
χ assez grand d’apr` es le lemme (12.17) et la finitude du groupe H
n−p,n−q (X, C).
Donc (12.20) est injectif pour χ grand, et apr` es composition avec l’isomorphisme
de Lefschetz (12.19) nous obtenons une injection
ω
n−p−q ∧ • = ω
n−p−q
χ
∧ • : H
p,q
c (X, C) −→ H
n−q,n−p
L 2 , ω χ
(X, C) sep ≃ H
n−q,n−p
ω χ
(X, C)
(l’´ egalit´ e ω
n−p−q ∧ • = ω
n−p−q
χ
∧ • r´ esulte du fait que ω χ a mˆ eme classe de
cohomologie que ω). En prenant la limite inductive sur χ et en combinant avec
l’isomorphisme limite (12.16), on obtient une application injective
(12.21)
ω
n−p−q ∧ • : H
p,q
c (X, C) −→ H
n−q,n−p (X, C), p + q n − ℓ.