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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
complexe L
2
loc fournit encore une r´ esolution de O(E) par des faisceaux (acycliques)
de C
∞ -modules. Il r´ esulte de ce qui pr´ ec` ede que le morphisme
L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ) ⊃ Ker D
′′
ω χ
−→ H
p,q (X, C) = H
q (X, Ω
p
X )
est continu et de noyau ferm´ e. Par cons´ equent ce noyau contient l’adh´ erence
Im D ′′
ω χ
, et nous obtenons une factorisation
H
p,q
ω χ (X, C) ≃ Ker D
′′
ω χ /Im D ′′
ω χ −→ H
p,q (X, C).
La d´ emonstration de la proposition (12.2) montre d’ailleurs que Im D ′′
ω χ
co¨ ıncide
avec l’adh´ erence de D
′′
D(X, Λ
p,q T
⋆
X )
dans L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ). Consid´ erons le
morphisme limite
(12.16)
lim
−→
χ
H
p,q
ω χ (X, C) −→ H
p,q (X, C),
o` u la limite inductive est ´ etendue ` a l’ensemble des fonctions convexes croissantes
χ de classe C
∞ telles que χ
′′ (t) 1 sur [0, +∞[, avec la relation d’ordre
χ 1 χ 2 ⇐⇒ χ 1 χ 2 et L
2
ω χ 1
(X, Λ
p,q T
⋆
X ) ⊂ L
2
ω χ 2
(X, Λ
p,q T
⋆
X ) pour k = p + q ;
il est facile de voir que cet ordre est filtrant en reprenant les arguments utilis´ es
pour le lemme (12.15). Il est bien connu par ailleurs que les groupes de cohomologie
de De Rham sont toujours s´ epar´ es pour la topologie induite par la topologie de
Fr´ echet sur les espaces de formes, par suite on a un morphisme limite
(12.16) DR
lim
−→
χ
H
k
ω χ
(X, C) −→ H
k
DR (X, C)
analogue ` a (12.16). La formule de d´ ecomposition du th´ eor` eme (12.13) se d´ eduit
maintenant de (12.14) et du lemme ´ el´ ementaire suivant.
12.17. Lemme. Les morphismes limites (12.16), (12.16) DR sont bijectifs pour
k = p + q n + ℓ.
Preuve. Traitons par exemple le cas du morphisme (12.16). Soit u une forme L
2
loc
d
′′ -ferm´ ee de bidegr´ e (p, q), p + q n + ℓ. Alors il existe un choix de χ pour lequel
u ∈ L
2
ω χ
, donc u ∈ Ker D
′′
ω χ
et (12.16) est surjectif. Si une classe {u} ∈ H
p,q
ω χ 0
(X, C)
est envoy´ ee sur z´ ero dans H
p,q (X, C), on peut ´ ecrire u = d
′′ v pour une certaine
forme v ` a coefficients L
2
loc et de bidegr´ e (p, q − 1). Dans le cas p + q > n + ℓ,
nous aurons v ∈ L
2
ω χ
pour χ χ 0 assez grand, donc la classe de u = D
′′
ω χ
v
dans H
p,q
ω χ (X, C) est nulle et (12.16) est injectif. Quand p + q = n + ℓ, la forme v
n’appartient plus n´ ecessairement ` a un des espaces L
2
ω χ , mais il suffit de montrer que
u = d
′′ v est dans l’adh´ erence de Im D
′′
ω χ
pour χ assez grand. Soit θ ∈ C
∞ (R, R)
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
complexe L
2
loc fournit encore une r´ esolution de O(E) par des faisceaux (acycliques)
de C
∞ -modules. Il r´ esulte de ce qui pr´ ec` ede que le morphisme
L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ) ⊃ Ker D
′′
ω χ
−→ H
p,q (X, C) = H
q (X, Ω
p
X )
est continu et de noyau ferm´ e. Par cons´ equent ce noyau contient l’adh´ erence
Im D ′′
ω χ
, et nous obtenons une factorisation
H
p,q
ω χ (X, C) ≃ Ker D
′′
ω χ /Im D ′′
ω χ −→ H
p,q (X, C).
La d´ emonstration de la proposition (12.2) montre d’ailleurs que Im D ′′
ω χ
co¨ ıncide
avec l’adh´ erence de D
′′
D(X, Λ
p,q T
⋆
X )
dans L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ). Consid´ erons le
morphisme limite
(12.16)
lim
−→
χ
H
p,q
ω χ (X, C) −→ H
p,q (X, C),
o` u la limite inductive est ´ etendue ` a l’ensemble des fonctions convexes croissantes
χ de classe C
∞ telles que χ
′′ (t) 1 sur [0, +∞[, avec la relation d’ordre
χ 1 χ 2 ⇐⇒ χ 1 χ 2 et L
2
ω χ 1
(X, Λ
p,q T
⋆
X ) ⊂ L
2
ω χ 2
(X, Λ
p,q T
⋆
X ) pour k = p + q ;
il est facile de voir que cet ordre est filtrant en reprenant les arguments utilis´ es
pour le lemme (12.15). Il est bien connu par ailleurs que les groupes de cohomologie
de De Rham sont toujours s´ epar´ es pour la topologie induite par la topologie de
Fr´ echet sur les espaces de formes, par suite on a un morphisme limite
(12.16) DR
lim
−→
χ
H
k
ω χ
(X, C) −→ H
k
DR (X, C)
analogue ` a (12.16). La formule de d´ ecomposition du th´ eor` eme (12.13) se d´ eduit
maintenant de (12.14) et du lemme ´ el´ ementaire suivant.
12.17. Lemme. Les morphismes limites (12.16), (12.16) DR sont bijectifs pour
k = p + q n + ℓ.
Preuve. Traitons par exemple le cas du morphisme (12.16). Soit u une forme L
2
loc
d
′′ -ferm´ ee de bidegr´ e (p, q), p + q n + ℓ. Alors il existe un choix de χ pour lequel
u ∈ L
2
ω χ
, donc u ∈ Ker D
′′
ω χ
et (12.16) est surjectif. Si une classe {u} ∈ H
p,q
ω χ 0
(X, C)
est envoy´ ee sur z´ ero dans H
p,q (X, C), on peut ´ ecrire u = d
′′ v pour une certaine
forme v ` a coefficients L
2
loc et de bidegr´ e (p, q − 1). Dans le cas p + q > n + ℓ,
nous aurons v ∈ L
2
ω χ
pour χ χ 0 assez grand, donc la classe de u = D
′′
ω χ
v
dans H
p,q
ω χ (X, C) est nulle et (12.16) est injectif. Quand p + q = n + ℓ, la forme v
n’appartient plus n´ ecessairement ` a un des espaces L
2
ω χ , mais il suffit de montrer que
u = d
′′ v est dans l’adh´ erence de Im D
′′
ω χ
pour χ assez grand. Soit θ ∈ C
∞ (R, R)