12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
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et pour une (p, q)-forme u =
I,J u I,J dz I ∧ dz J on trouve
|u|
2
ω χ
=
|I|=p,|J|=q
k∈I
λ k
k∈J
λ k
−1
|u I,J |
2 .
Il en r´ esulte en particulier
|u|
2
ω χ
dV ω χ
λ 1 · · · λ n
λ 1 · · · λ p λ 1 · · · λ q
|u|
2
ω dV ω =
λ p+1 · · · λ n
λ 1 · · · λ q
|u|
2
ω dV ω .
D’autre part, on a des majorations
λ j 1 + C 1 χ
′ (ψ), 1 j n − 1, λ n 1 + C 1 χ
′ (ψ) + C 2 χ
′′ (ψ)
o` u C 1 (x) est la plus grande valeur propre de i d
′ d
′′ ψ(x) et C 2 (x) = |∂ψ(x)|
2 ; pour
obtenir les n−1 premi` eres in´ egalit´ es, on a seulement besoin d’appliquer le principe
du minimax sur le noyau de ∂ψ. Comme i d
′ d
′′ ψ a au plus ℓ − 1 valeurs propres
nulles sur X K, le principe du minimax donne aussi des minorations
λ j 1, 1 j ℓ − 1, λ j 1 + c χ
′ (ψ), ℓ j n,
o` u c(x) 0 est la ℓ-i` eme valeur propre de i d
′ d
′′ ψ(x) et c(x) > 0 sur X K. Si
nous supposons χ
′
1, nous en d´ eduisons ais´ ement
|u|
2
ω χ dV ω χ
|u| 2
ω dV ω
1 + C 1 χ
′ (ψ)
n−p−1
1 + C 1 χ
′ (ψ) + C 2 χ
′′ (ψ)
1 + cχ ′ (ψ)
q−ℓ+1
C 3
χ
′ (ψ)
n+ℓ−p−q−1 + χ
′′ (ψ)χ
′ (ψ)
n+ℓ−p−q−2
sur X K.
Pour p + q n + ℓ, ceci est inf´ erieur ou ´ egal ` a
C 3
χ
′ (ψ)
−1 + χ
′′ (ψ)χ
′ (ψ)
−2
,
et il est facile de montrer que cette quantit´ e peut ˆ etre rendue arbitrairement petite
` a l’infini sur X quand χ croˆ ıt suffisamment vite ` a infini sur R.
Preuve du th´ eor` eme (12.13), fin. Un r´ esultat bien connu de Andreotti-Grauert
[AG62] garantit que la topologie naturelle des groupes de cohomologie H
q (X, F)
d’un faisceau coh´ erent quelconque F sur une vari´ et´ e ℓ-convexe sont s´ epar´ es pour
q ℓ. Si F = O(E) est le faisceau des sections d’un fibr´ e vectoriel holomorphe,
les groupes H
q (X, O(E)) sont alg´ ebriquement et topologiquement isomorphes aux
groupes de cohomologie du complexe de Dolbeault des formes de type (0, q) ` a
coefficients L
2
loc dont la d
′′ -differentielle est ` a coefficients L
2
loc , muni de la topologie
de Fr´ echet d´ efinie par les semi-normes u → →u L 2 (K) +d
′′ u L 2 (K) . Pour le voir, on
peut reprendre mot ` a mot la d´ emonstration du th´ eor` eme (1.3), en observant que le
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et pour une (p, q)-forme u =
I,J u I,J dz I ∧ dz J on trouve
|u|
2
ω χ
=
|I|=p,|J|=q
k∈I
λ k
k∈J
λ k
−1
|u I,J |
2 .
Il en r´ esulte en particulier
|u|
2
ω χ
dV ω χ
λ 1 · · · λ n
λ 1 · · · λ p λ 1 · · · λ q
|u|
2
ω dV ω =
λ p+1 · · · λ n
λ 1 · · · λ q
|u|
2
ω dV ω .
D’autre part, on a des majorations
λ j 1 + C 1 χ
′ (ψ), 1 j n − 1, λ n 1 + C 1 χ
′ (ψ) + C 2 χ
′′ (ψ)
o` u C 1 (x) est la plus grande valeur propre de i d
′ d
′′ ψ(x) et C 2 (x) = |∂ψ(x)|
2 ; pour
obtenir les n−1 premi` eres in´ egalit´ es, on a seulement besoin d’appliquer le principe
du minimax sur le noyau de ∂ψ. Comme i d
′ d
′′ ψ a au plus ℓ − 1 valeurs propres
nulles sur X K, le principe du minimax donne aussi des minorations
λ j 1, 1 j ℓ − 1, λ j 1 + c χ
′ (ψ), ℓ j n,
o` u c(x) 0 est la ℓ-i` eme valeur propre de i d
′ d
′′ ψ(x) et c(x) > 0 sur X K. Si
nous supposons χ
′
1, nous en d´ eduisons ais´ ement
|u|
2
ω χ dV ω χ
|u| 2
ω dV ω
1 + C 1 χ
′ (ψ)
n−p−1
1 + C 1 χ
′ (ψ) + C 2 χ
′′ (ψ)
1 + cχ ′ (ψ)
q−ℓ+1
C 3
χ
′ (ψ)
n+ℓ−p−q−1 + χ
′′ (ψ)χ
′ (ψ)
n+ℓ−p−q−2
sur X K.
Pour p + q n + ℓ, ceci est inf´ erieur ou ´ egal ` a
C 3
χ
′ (ψ)
−1 + χ
′′ (ψ)χ
′ (ψ)
−2
,
et il est facile de montrer que cette quantit´ e peut ˆ etre rendue arbitrairement petite
` a l’infini sur X quand χ croˆ ıt suffisamment vite ` a infini sur R.
Preuve du th´ eor` eme (12.13), fin. Un r´ esultat bien connu de Andreotti-Grauert
[AG62] garantit que la topologie naturelle des groupes de cohomologie H
q (X, F)
d’un faisceau coh´ erent quelconque F sur une vari´ et´ e ℓ-convexe sont s´ epar´ es pour
q ℓ. Si F = O(E) est le faisceau des sections d’un fibr´ e vectoriel holomorphe,
les groupes H
q (X, O(E)) sont alg´ ebriquement et topologiquement isomorphes aux
groupes de cohomologie du complexe de Dolbeault des formes de type (0, q) ` a
coefficients L
2
loc dont la d
′′ -differentielle est ` a coefficients L
2
loc , muni de la topologie
de Fr´ echet d´ efinie par les semi-normes u → →u L 2 (K) +d
′′ u L 2 (K) . Pour le voir, on
peut reprendre mot ` a mot la d´ emonstration du th´ eor` eme (1.3), en observant que le