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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
une fonction de Morse ψ qui est encore fortement ℓ-convexe sur le compl´ ementaire
X K d’un compact ; le Hessien r´ eel D
2 ψ de ψ en un point critique induit une
forme hermitienne sur l’espace tangent complexifi´ e C ⊗ T X , et sa restriction ` a
T
1,0
X s’identifie au Hessien complexe i d
′ d
′′ ψ ; comme le Hessien complexe a par
hypoth` ese au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives sur X K, il en r´ esulte que
D
2 ψ a au plus 2n−(n−ℓ+1) = n+ℓ−1 valeurs propres n´ egatives sur X K, sans
quoi les espaces propres positifs et n´ egatifs de D
2 ψ auraient une intersection non
triviale. Par suite tous les points critiques d’indice n + ℓ sont situ´ es dans K et
leur nombre est fini. Ceci entraˆ ıne que les groupes H
k
DR (X, C) de degr´ e k n + ℓ
sont de dimension finie. La finitude des groupes de cohomologie de Dolbeault
H
p,q (X, C) = H
q (X, Ω
p
X ) r´ esulte quant ` a elle du th´ eor` eme d’Andreotti-Grauert
[AG62] (tous les groupes de cohomologie de degr´ e sup´ erieur ` a ℓ ` a valeurs dans un
faisceau coh´ erent quelconque sont s´ epar´ es et de dimension finie si la vari´ et´ e est ℓconvexe). On notera toutefois que la ℓ-convexit´ e, bien que suffisante pour assurer
la finitude des diff´ erents groupes mis en jeu, ne suffit pas ` a garantir l’existence
d’une d´ ecomposition de Hodge, ni mˆ eme la sym´ etrie de Hodge ; le lecteur trouvera
un contre-exemple simple dans Grauert-Riemenschneider [GR70].
Soit maintenant ω une m´ etrique k¨ ahl´ erienne sur X et ψ une fonction
d’exhaustion psh fortement ℓ-convexe sur X K. Comme on va le voir, l’existence
d’une d´ ecomposition de Hodge r´ esulte directement du fait qu’on a une telle
d´ ecomposition pour les formes harmoniques L
2 . Le point-cl´ e r´ eside dans l’observation que toute forme L
2
loc de degr´ e k n + ℓ devient globalement L
2 pour un
choix convenable de m´ etrique ω χ = ω + i d
′ d
′′ (χ ◦ ψ) ; les groupes H
k
DR (X, C)
et H
p,q (X, C) pourront alors ˆ etre consid´ er´ es comme des limites inductives de
groupes de cohomologie L
2 . Dans la suite, on d´ esignera par des notations telles
que L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ), H
p,q
L 2 , ω χ
(X, C) les espaces de formes (resp. de formes harmoniques) L
2 relativement ` a ω χ . Puisque ω χ est k¨ ahl´ erienne, on a
(12.14) H
k
L 2 ,ω χ
(M, C) =
p+q=k
H
p,q
L 2 ,ω χ
(M, C), H
p,q
L 2 ,ω χ
(M, C) = H
q,p
L 2 ,ω χ
(M, C),
avec un isomorphisme H
k
L 2 ,ω χ
(M, C) ≃ H
k
L 2 ,ω χ
(M, C) sep d` es lors que ω χ est
compl` ete. Dans la suite, on supposera toujours que ω χ est compl` ete, il suffit
d’imposer par exemple χ
′′ (t) 1 sur [0, +∞[.
12.15. Lemme. Soit u une forme de bidegr´ e (p, q) ` a coefficients L
2
loc sur X. Si
p + q n + ℓ, alors u ∈ L
2
ω χ (X, Λ
p,q T
⋆
X ) d` es que χ croˆ ıt suffisamment vite ` a infini.
Preuve. En un point x ∈ X fix´ e, il existe une base orthogonale (∂/∂z 1 , . . . , ∂/∂z n )
de T X,x dans laquelle
ω(x) = i
1jn
dz j ∧ dz j ,
ω χ (x) = i
1jn
λ j (x) dz j ∧ dz j ,
o` u λ 1 · · · λ n sont les valeurs propres de ω χ par rapport ` a ω. Alors les ´ el´ ements
de volume dV ω = ω
n /2
n n! et dV ω χ = ω
n
χ /2
n n! sont li´ es par la relation
dV ω χ = λ 1 · · · λ n dV ω
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
une fonction de Morse ψ qui est encore fortement ℓ-convexe sur le compl´ ementaire
X K d’un compact ; le Hessien r´ eel D
2 ψ de ψ en un point critique induit une
forme hermitienne sur l’espace tangent complexifi´ e C ⊗ T X , et sa restriction ` a
T
1,0
X s’identifie au Hessien complexe i d
′ d
′′ ψ ; comme le Hessien complexe a par
hypoth` ese au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives sur X K, il en r´ esulte que
D
2 ψ a au plus 2n−(n−ℓ+1) = n+ℓ−1 valeurs propres n´ egatives sur X K, sans
quoi les espaces propres positifs et n´ egatifs de D
2 ψ auraient une intersection non
triviale. Par suite tous les points critiques d’indice n + ℓ sont situ´ es dans K et
leur nombre est fini. Ceci entraˆ ıne que les groupes H
k
DR (X, C) de degr´ e k n + ℓ
sont de dimension finie. La finitude des groupes de cohomologie de Dolbeault
H
p,q (X, C) = H
q (X, Ω
p
X ) r´ esulte quant ` a elle du th´ eor` eme d’Andreotti-Grauert
[AG62] (tous les groupes de cohomologie de degr´ e sup´ erieur ` a ℓ ` a valeurs dans un
faisceau coh´ erent quelconque sont s´ epar´ es et de dimension finie si la vari´ et´ e est ℓconvexe). On notera toutefois que la ℓ-convexit´ e, bien que suffisante pour assurer
la finitude des diff´ erents groupes mis en jeu, ne suffit pas ` a garantir l’existence
d’une d´ ecomposition de Hodge, ni mˆ eme la sym´ etrie de Hodge ; le lecteur trouvera
un contre-exemple simple dans Grauert-Riemenschneider [GR70].
Soit maintenant ω une m´ etrique k¨ ahl´ erienne sur X et ψ une fonction
d’exhaustion psh fortement ℓ-convexe sur X K. Comme on va le voir, l’existence
d’une d´ ecomposition de Hodge r´ esulte directement du fait qu’on a une telle
d´ ecomposition pour les formes harmoniques L
2 . Le point-cl´ e r´ eside dans l’observation que toute forme L
2
loc de degr´ e k n + ℓ devient globalement L
2 pour un
choix convenable de m´ etrique ω χ = ω + i d
′ d
′′ (χ ◦ ψ) ; les groupes H
k
DR (X, C)
et H
p,q (X, C) pourront alors ˆ etre consid´ er´ es comme des limites inductives de
groupes de cohomologie L
2 . Dans la suite, on d´ esignera par des notations telles
que L
2
ω χ
(X, Λ
p,q T
⋆
X ), H
p,q
L 2 , ω χ
(X, C) les espaces de formes (resp. de formes harmoniques) L
2 relativement ` a ω χ . Puisque ω χ est k¨ ahl´ erienne, on a
(12.14) H
k
L 2 ,ω χ
(M, C) =
p+q=k
H
p,q
L 2 ,ω χ
(M, C), H
p,q
L 2 ,ω χ
(M, C) = H
q,p
L 2 ,ω χ
(M, C),
avec un isomorphisme H
k
L 2 ,ω χ
(M, C) ≃ H
k
L 2 ,ω χ
(M, C) sep d` es lors que ω χ est
compl` ete. Dans la suite, on supposera toujours que ω χ est compl` ete, il suffit
d’imposer par exemple χ
′′ (t) 1 sur [0, +∞[.
12.15. Lemme. Soit u une forme de bidegr´ e (p, q) ` a coefficients L
2
loc sur X. Si
p + q n + ℓ, alors u ∈ L
2
ω χ (X, Λ
p,q T
⋆
X ) d` es que χ croˆ ıt suffisamment vite ` a infini.
Preuve. En un point x ∈ X fix´ e, il existe une base orthogonale (∂/∂z 1 , . . . , ∂/∂z n )
de T X,x dans laquelle
ω(x) = i
1jn
dz j ∧ dz j ,
ω χ (x) = i
1jn
λ j (x) dz j ∧ dz j ,
o` u λ 1 · · · λ n sont les valeurs propres de ω χ par rapport ` a ω. Alors les ´ el´ ements
de volume dV ω = ω
n /2
n n! et dV ω χ = ω
n
χ /2
n n! sont li´ es par la relation
dV ω χ = λ 1 · · · λ n dV ω