12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
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12.11. D´ efinition. Une vari´ et´ e complexe X sera dite ℓ-convexe (resp. absolument
ℓ-convexe) si X poss` ede une fonction d’exhaustion (resp. une fonction d’exhaustion
psh) ψ qui est fortement ℓ-convexe sur le compl´ ementaire X K d’une partie
compacte, i.e. telle que i d
′ d
′′ ψ a au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives en
tout point de X K, o` u n = dim C X.
12.12. Exemple. Soit X une vari´ et´ e projective lisse telle qu’il existe un morphisme surjectif F : X → Y sur une autre vari´ et´ e projective lisse Y . Soit D un
diviseur de Y et soient X = X F
−1 (D), Y = Y D. On suppose que F induit
une submersion X F
−1 (D) → Y D et que O(D) ↾D est ample. Alors X est absolument ℓ-convexe pour ℓ = dim X − dim Y + 1. En effet, l’hypoth` ese d’amplitude
de O(D) ↾D entraˆ ıne qu’il existe une m´ etrique hermitienne sur O(D) dont la courbure est d´ efinie positive au voisinage de D, c’est-` a-dire sur un ouvert de la forme
Y K
′ o` u K
′ est une partie compacte de Y D. Soit σ ∈ H
0 (Y , O(D)) la section
canonique de diviseur D. Alors − log |σ|
2 est fortement psh sur Y K
′ , par suite
ψ = − log |σ ◦ F |
2 est psh et fortement ℓ-convexe sur X K, o` u K = F
−1 (K
′ ).
Par ailleurs, ψ d´ efinit clairement une exhaustion de X. On ne sait rien de ψ sur K,
mais il suffit de tronquer ψ en prenant un maximum r´ egularis´ e ψ C = max ε (ψ, C)
avec une constante C > sup K ψ pour obtenir une fonction ψ C partout psh sur X.
Nous pouvons maintenant ´ enoncer le th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge
pour les vari´ et´ es absolument ℓ-convexes. Ce r´ esultat est dˆ u ` a T. Ohsawa
[Ohs81, 87] ; nous en pr´ esentons ici une d´ emonstration simplifi´ ee d´ ecrite dans
[Dem90a]. Une approche purement alg´ ebrique de ces r´ esultats a ´ et´ e propos´ ee par
Bauer-Kosarew [BaKo89, 91] et [Kos91].
12.13. Th´ eor` eme (Ohsawa [Ohs81, 87], [OT88]). Soit (X, ω) une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne et n = dim C X. On suppose que X est absolument ℓ-convexe. Alors,
en des degr´ es convenables, il y a d´ ecomposition et sym´ etrie de Hodge:
H
k
DR (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q (X, C), H p,q (X, C) ≃ H
q,p (X, C), k n + ℓ,
H
k
DR, c (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q
c (X, C), H
p,q
c (X, C) ≃ H
q,p
c (X, C), k n − ℓ,
tous ces groupes ´ etant de dimension finie. (H
k
DR, c (X, C) et H
p,q
c (X, C) d´ esignent
ici les groupes de cohomologie ` a support compact). De plus, on a un isomorphisme
de Lefschetz
ω
n−p−q ∧ • : H
p,q
c (X, C) −→ H
n−q,n−p (X, C), p + q n − ℓ.
Preuve. La finitude des groupes de cohomologie de De Rham mis en jeu s’obtient
facilement au moyen de la th´ eorie de Morse. Rappelons bri` evement l’argument :
une petite perturbation convenable d’une exhaustion fortement ℓ-convexe donne
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12.11. D´ efinition. Une vari´ et´ e complexe X sera dite ℓ-convexe (resp. absolument
ℓ-convexe) si X poss` ede une fonction d’exhaustion (resp. une fonction d’exhaustion
psh) ψ qui est fortement ℓ-convexe sur le compl´ ementaire X K d’une partie
compacte, i.e. telle que i d
′ d
′′ ψ a au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives en
tout point de X K, o` u n = dim C X.
12.12. Exemple. Soit X une vari´ et´ e projective lisse telle qu’il existe un morphisme surjectif F : X → Y sur une autre vari´ et´ e projective lisse Y . Soit D un
diviseur de Y et soient X = X F
−1 (D), Y = Y D. On suppose que F induit
une submersion X F
−1 (D) → Y D et que O(D) ↾D est ample. Alors X est absolument ℓ-convexe pour ℓ = dim X − dim Y + 1. En effet, l’hypoth` ese d’amplitude
de O(D) ↾D entraˆ ıne qu’il existe une m´ etrique hermitienne sur O(D) dont la courbure est d´ efinie positive au voisinage de D, c’est-` a-dire sur un ouvert de la forme
Y K
′ o` u K
′ est une partie compacte de Y D. Soit σ ∈ H
0 (Y , O(D)) la section
canonique de diviseur D. Alors − log |σ|
2 est fortement psh sur Y K
′ , par suite
ψ = − log |σ ◦ F |
2 est psh et fortement ℓ-convexe sur X K, o` u K = F
−1 (K
′ ).
Par ailleurs, ψ d´ efinit clairement une exhaustion de X. On ne sait rien de ψ sur K,
mais il suffit de tronquer ψ en prenant un maximum r´ egularis´ e ψ C = max ε (ψ, C)
avec une constante C > sup K ψ pour obtenir une fonction ψ C partout psh sur X.
Nous pouvons maintenant ´ enoncer le th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge
pour les vari´ et´ es absolument ℓ-convexes. Ce r´ esultat est dˆ u ` a T. Ohsawa
[Ohs81, 87] ; nous en pr´ esentons ici une d´ emonstration simplifi´ ee d´ ecrite dans
[Dem90a]. Une approche purement alg´ ebrique de ces r´ esultats a ´ et´ e propos´ ee par
Bauer-Kosarew [BaKo89, 91] et [Kos91].
12.13. Th´ eor` eme (Ohsawa [Ohs81, 87], [OT88]). Soit (X, ω) une vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne et n = dim C X. On suppose que X est absolument ℓ-convexe. Alors,
en des degr´ es convenables, il y a d´ ecomposition et sym´ etrie de Hodge:
H
k
DR (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q (X, C), H p,q (X, C) ≃ H
q,p (X, C), k n + ℓ,
H
k
DR, c (X, C) ≃
p+q=k
H
p,q
c (X, C), H
p,q
c (X, C) ≃ H
q,p
c (X, C), k n − ℓ,
tous ces groupes ´ etant de dimension finie. (H
k
DR, c (X, C) et H
p,q
c (X, C) d´ esignent
ici les groupes de cohomologie ` a support compact). De plus, on a un isomorphisme
de Lefschetz
ω
n−p−q ∧ • : H
p,q
c (X, C) −→ H
n−q,n−p (X, C), p + q n − ℓ.
Preuve. La finitude des groupes de cohomologie de De Rham mis en jeu s’obtient
facilement au moyen de la th´ eorie de Morse. Rappelons bri` evement l’argument :
une petite perturbation convenable d’une exhaustion fortement ℓ-convexe donne