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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
c) Si (X, ω) est compl` ete, et si les groupes de cohomologie de De Rham et de
Dolbeault L
2 sont de dimension finie, on a des isomorphismes canoniques
H
k
L 2 (M, E) ≃
p+q=k
H
p,q
L 2 (M, E),
H
p,q
L 2 (M, E) ≃ H
q,p
L 2 (M, E
⋆ ).
12.C. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes
Les vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes fournissent un exemple
important de vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes.
12.9. D´ efinition. Une vari´ et´ e complexe X est dite faiblement pseudoconvexe s’il
existe une fonction d’exhaustion psh ψ de classe C
∞ sur X (rappelons qu’une
fonction ψ est dite exhaustive si pour tout c > 0 l’ensemble de sous-niveau
X c = ψ
−1 (c) est relativement compact, i.e. ψ(z) tend vers +∞ quand z tend
vers l’infini suivant le filtre des compl´ ementaires de parties compactes de X).
En particulier, les vari´ et´ es complexes compactes X sont faiblement pseudoconvexes (prendre ψ = 0), de mˆ eme que les vari´ et´ es de Stein, par exemple les
sous-vari´ et´ es alg´ ebriques affines de C
N (prendre ψ(z) = |z|
2 ), les boules ouvertes
X = B(z 0 , r)
prendre ψ(z) = 1/(r − |z − z 0 |
2 )
, les ouverts convexes, etc. Une
observation de base est la suivante :
12.10. Proposition. Toute vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne (X, ω) faiblement pseudoconvexe
poss` ede une m´ etrique k¨ ahl´ erienne compl` ete
ω.
Preuve. Pour toute fonction convexe croissante χ ∈ C
∞ (R, R), nous consid´ erons
(1, 1)-forme ferm´ ee
ω χ = ω + i d
′ d
′′ (χ ◦ ψ) = ω + χ
′ (ψ) i d
′ d
′′ ψ + χ
′′ (ψ) i d
′ ψ ∧ d
′′ ψ.
Comme les trois termes sont positifs ou nuls, c’est une m´ etrique k¨ ahl´ erienne. La
pr´ esence du troisi` eme terme implique que la norme de χ
′′ (ψ)
1/2 dψ par rapport ` a
ω χ est inf´ erieure ou ´ egale ` a 1, donc si ρ est une primitive de (χ
′′ )
1/2 nous avons
|d(ρ ◦ ψ)| ω χ 1. D’apr` es (12.1 c), ω χ sera compl` ete d` es que ρ ◦ ψ est exhaustive,
c’est-` a-dire d` es que lim +∞ ρ(t) = +∞. On obtient donc la condition suffisante
+∞
t 0
χ
′′ (t)
1/2 dt = +∞,
qui est r´ ealis´ ee par exemple pour le choix χ(t) = t
2 ou χ(t) = t − log t, t 1.
Nous allons maintenant ´ etablir un th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge
pour des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes ayant “suffisamment de
directions strictement pseudoconvexes”. Suivant Andreotti-Grauert [AG62], nous
introduisons la :
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
c) Si (X, ω) est compl` ete, et si les groupes de cohomologie de De Rham et de
Dolbeault L
2 sont de dimension finie, on a des isomorphismes canoniques
H
k
L 2 (M, E) ≃
p+q=k
H
p,q
L 2 (M, E),
H
p,q
L 2 (M, E) ≃ H
q,p
L 2 (M, E
⋆ ).
12.C. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes
Les vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes fournissent un exemple
important de vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes.
12.9. D´ efinition. Une vari´ et´ e complexe X est dite faiblement pseudoconvexe s’il
existe une fonction d’exhaustion psh ψ de classe C
∞ sur X (rappelons qu’une
fonction ψ est dite exhaustive si pour tout c > 0 l’ensemble de sous-niveau
X c = ψ
−1 (c) est relativement compact, i.e. ψ(z) tend vers +∞ quand z tend
vers l’infini suivant le filtre des compl´ ementaires de parties compactes de X).
En particulier, les vari´ et´ es complexes compactes X sont faiblement pseudoconvexes (prendre ψ = 0), de mˆ eme que les vari´ et´ es de Stein, par exemple les
sous-vari´ et´ es alg´ ebriques affines de C
N (prendre ψ(z) = |z|
2 ), les boules ouvertes
X = B(z 0 , r)
prendre ψ(z) = 1/(r − |z − z 0 |
2 )
, les ouverts convexes, etc. Une
observation de base est la suivante :
12.10. Proposition. Toute vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne (X, ω) faiblement pseudoconvexe
poss` ede une m´ etrique k¨ ahl´ erienne compl` ete
ω.
Preuve. Pour toute fonction convexe croissante χ ∈ C
∞ (R, R), nous consid´ erons
(1, 1)-forme ferm´ ee
ω χ = ω + i d
′ d
′′ (χ ◦ ψ) = ω + χ
′ (ψ) i d
′ d
′′ ψ + χ
′′ (ψ) i d
′ ψ ∧ d
′′ ψ.
Comme les trois termes sont positifs ou nuls, c’est une m´ etrique k¨ ahl´ erienne. La
pr´ esence du troisi` eme terme implique que la norme de χ
′′ (ψ)
1/2 dψ par rapport ` a
ω χ est inf´ erieure ou ´ egale ` a 1, donc si ρ est une primitive de (χ
′′ )
1/2 nous avons
|d(ρ ◦ ψ)| ω χ 1. D’apr` es (12.1 c), ω χ sera compl` ete d` es que ρ ◦ ψ est exhaustive,
c’est-` a-dire d` es que lim +∞ ρ(t) = +∞. On obtient donc la condition suffisante
+∞
t 0
χ
′′ (t)
1/2 dt = +∞,
qui est r´ ealis´ ee par exemple pour le choix χ(t) = t
2 ou χ(t) = t − log t, t 1.
Nous allons maintenant ´ etablir un th´ eor` eme de d´ ecomposition de Hodge
pour des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes faiblement pseudoconvexes ayant “suffisamment de
directions strictement pseudoconvexes”. Suivant Andreotti-Grauert [AG62], nous
introduisons la :