12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
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12.5. Corollaire. Si (M, g) est compl` ete et si H
p
DR, L 2 (M, E) est de dimension
finie, alors cet espace est s´ epar´ e et on a un isomorphisme canonique
H
p
L 2 (M, E) ≃ H
p
DR, L 2 (M, E).
Preuve. L’espace K
p peut ˆ etre consid´ er´ e comme un espace de Hilbert pour la
norme u → (u L 2 + Du L 2 )
1/2 . Il s’agit de voir que Im D = D(K
p−1 ) est ferm´ e
dans Ker D, Ker D ´ etant lui-mˆ eme ferm´ e dans K
p . Or D : K
p−1 → Ker D est
continu et son image est de codimension finie par hypoth` ese. Le fait que l’image
soit ferm´ ee est alors une cons´ equence directe du th´ eor` eme de Banach.
12.6. Remarque. Pour la cohomologie de De Rham L
2 , on peut observer qu’on
obtient des groupes de cohomologie identiques en travaillant avec le sous-complexe
des formes C
∞ globalement L
2 , c’est-` a-dire
K
p =
u ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) ; u ∈ L
2 et Du ∈ L
2
⊂ K
p .
Pour cela, il suffit de construire un op´ erateur
K
• → K
• qui soit un inverse
homotopique de l’inclusion ; ceci peut se faire en utilisant une r´ egularisation par
des flots de champs de vecteurs tendant vers 0 suffisamment vite ` a l’infini.
12.B. Cas des vari´ et´ es hermitiennes et k¨ ahl´ eriennes compl` etes
Les r´ esultats pr´ ec´ edents admettent bien entendu des analogues complexes,
avec des d´ emonstrations quasiment identiques (les d´ etails seront donc laiss´ es au
lecteur). On dira qu’une vari´ et´ e hermitienne ou k¨ ahl´ erienne (X, ω) est compl` ete si
la vari´ et´ e riemannienne sous-jacente est compl` ete.
12.7. Proposition. Soit (X, ω) une vari´ et´ e hermitienne compl` ete et E un fibr´ e
holomorphe hermitien sur X. Il y a un isomorphisme canonique
H
p,q
L 2 (M, E) ≃ H
p,q
L 2 (M, E) sep
entre l’espace des formes harmoniques L
2 et le groupe de cohomologie de Dolbeault
L
2 s´ epar´ e, ce dernier espace ´ etant lui-mˆ eme ´ egal ` a H
p,q
L 2 (M, E) si la cohomologie
de Dolbeault est de dimension finie.
12.8. Corollaire. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne et E un fibr´ e hermitien plat
sur X.
a) Sans autre hypoth` ese, on a pour tout k une d´ ecomposition orthogonale
H
k
L 2 (M, E) =
p+q=k
H
p,q
L 2 (M, E),
H
p,q
L 2 (M, E) = H
q,p
L 2 (M, E
⋆ ).
b) Si de plus (X, ω) est compl` ete, il y a des isomorphismes canoniques
H
k
L 2 (M, E) sep ≃
p+q=k
H
p,q
L 2 (M, E) sep ,
H
p,q
L 2 (M, E) sep ≃ H
q,p
L 2 (M, E
⋆ ) sep .
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12.5. Corollaire. Si (M, g) est compl` ete et si H
p
DR, L 2 (M, E) est de dimension
finie, alors cet espace est s´ epar´ e et on a un isomorphisme canonique
H
p
L 2 (M, E) ≃ H
p
DR, L 2 (M, E).
Preuve. L’espace K
p peut ˆ etre consid´ er´ e comme un espace de Hilbert pour la
norme u → (u L 2 + Du L 2 )
1/2 . Il s’agit de voir que Im D = D(K
p−1 ) est ferm´ e
dans Ker D, Ker D ´ etant lui-mˆ eme ferm´ e dans K
p . Or D : K
p−1 → Ker D est
continu et son image est de codimension finie par hypoth` ese. Le fait que l’image
soit ferm´ ee est alors une cons´ equence directe du th´ eor` eme de Banach.
12.6. Remarque. Pour la cohomologie de De Rham L
2 , on peut observer qu’on
obtient des groupes de cohomologie identiques en travaillant avec le sous-complexe
des formes C
∞ globalement L
2 , c’est-` a-dire
K
p =
u ∈ C
∞ (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) ; u ∈ L
2 et Du ∈ L
2
⊂ K
p .
Pour cela, il suffit de construire un op´ erateur
K
• → K
• qui soit un inverse
homotopique de l’inclusion ; ceci peut se faire en utilisant une r´ egularisation par
des flots de champs de vecteurs tendant vers 0 suffisamment vite ` a l’infini.
12.B. Cas des vari´ et´ es hermitiennes et k¨ ahl´ eriennes compl` etes
Les r´ esultats pr´ ec´ edents admettent bien entendu des analogues complexes,
avec des d´ emonstrations quasiment identiques (les d´ etails seront donc laiss´ es au
lecteur). On dira qu’une vari´ et´ e hermitienne ou k¨ ahl´ erienne (X, ω) est compl` ete si
la vari´ et´ e riemannienne sous-jacente est compl` ete.
12.7. Proposition. Soit (X, ω) une vari´ et´ e hermitienne compl` ete et E un fibr´ e
holomorphe hermitien sur X. Il y a un isomorphisme canonique
H
p,q
L 2 (M, E) ≃ H
p,q
L 2 (M, E) sep
entre l’espace des formes harmoniques L
2 et le groupe de cohomologie de Dolbeault
L
2 s´ epar´ e, ce dernier espace ´ etant lui-mˆ eme ´ egal ` a H
p,q
L 2 (M, E) si la cohomologie
de Dolbeault est de dimension finie.
12.8. Corollaire. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne et E un fibr´ e hermitien plat
sur X.
a) Sans autre hypoth` ese, on a pour tout k une d´ ecomposition orthogonale
H
k
L 2 (M, E) =
p+q=k
H
p,q
L 2 (M, E),
H
p,q
L 2 (M, E) = H
q,p
L 2 (M, E
⋆ ).
b) Si de plus (X, ω) est compl` ete, il y a des isomorphismes canoniques
H
k
L 2 (M, E) sep ≃
p+q=k
H
p,q
L 2 (M, E) sep ,
H
p,q
L 2 (M, E) sep ≃ H
q,p
L 2 (M, E
⋆ ) sep .