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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Par cons´ equent
θ ν Du
2 + θ ν D
⋆ u
2
1
1 − 2 −ν
θ
2
ν u, ∆u + 2
1−ν u
2
.
En faisant tendre ν vers +∞, on obtient Du
2 +D
⋆ u
2
u, ∆u, en particulier
Du, D
⋆ u sont dans L
2 . Ceci implique
u, ∆v = Du, Dv + D
⋆ u, D
⋆ v, ∀u, v ∈ Dom ∆,
parce que l’´ egalit´ e a lieu pour θ ν u et v, et parce que nous avons θ ν u → u,
D(θ ν u) → Du et D
⋆ (θ ν u) → D
⋆ u dans L
2 . Il en r´ esulte que ∆ est auto-adjoint.
d) Si P est un op´ erateur ferm´ e ` a domaine dense sur un espace de Hilbert H, alors
Ker P et ferm´ e et Ker P
⋆ = (Im P )
⊥ . Par suite (Ker P
⋆ )
⊥ = (Im P )
⊥⊥ = Im P .
Comme Ker P
⋆ est lui aussi ferm´ e il vient
H = Ker P
⋆ ⊕ (Ker P
⋆ )
⊥ = Ker P
⋆ ⊕ Im P .
Ce r´ esultat appliqu´ e ` a P = ∆ donne
H
•
L 2 (M, E) = Ker ∆ ⊕ Im ∆,
et il est clair d’apr` es (12.2 c) que Im ∆ ⊂ Im D ⊕ Im D
⋆ . Mais par ailleurs, on voit
facilement que Ker ∆, Im D et Im D ⋆ sont deux ` a deux orthogonaux en utilisant
(12.2 a,c). La propri´ et´ e d) s’ensuit comme dans le cas o` u M est compacte.
12.3. D´ efinition. Etant donn´ e une vari´ et´ e riemannienne (M, g) et un fibr´ e
hermitien E muni d’une connexion hermitienne plate D, on note H
p
DR, L 2 (M, E)
les groupes de cohomologie de De Rham L
2 , ` a savoir les groupes de cohomologie
du complexe (K
• , D) d´ efini par
K
p =
u ∈ L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) ; Du ∈ L
2
.
En d’autres termes, on a H
p
DR, L 2 (M, E) = Ker D/ Im D o` u D est l’extension
L
2 de la connexion, calcul´ ee au sens des distributions. Comme H
p
L 2 (M, E) =
Ker D/Im D d’apr` es (12.2 d), il s’ensuit :
12.4. Proposition. On a un isomorphisme canonique
H
p
L 2 (M, E) ≃ H
p
DR, L 2 (M, E) sep
entre H
p
L 2 (M, E) et l’espace s´ epar´ e associ´ e ` a la cohomologie de De Rham L
2 .
En g´ en´ eral l’espace H
p
DR, L 2 (M, E) n’est pas toujours s´ epar´ e, mais il l’est dans
le cas important o` u la cohomologie L
2 est de dimension finie :
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Par cons´ equent
θ ν Du
2 + θ ν D
⋆ u
2
1
1 − 2 −ν
θ
2
ν u, ∆u + 2
1−ν u
2
.
En faisant tendre ν vers +∞, on obtient Du
2 +D
⋆ u
2
u, ∆u, en particulier
Du, D
⋆ u sont dans L
2 . Ceci implique
u, ∆v = Du, Dv + D
⋆ u, D
⋆ v, ∀u, v ∈ Dom ∆,
parce que l’´ egalit´ e a lieu pour θ ν u et v, et parce que nous avons θ ν u → u,
D(θ ν u) → Du et D
⋆ (θ ν u) → D
⋆ u dans L
2 . Il en r´ esulte que ∆ est auto-adjoint.
d) Si P est un op´ erateur ferm´ e ` a domaine dense sur un espace de Hilbert H, alors
Ker P et ferm´ e et Ker P
⋆ = (Im P )
⊥ . Par suite (Ker P
⋆ )
⊥ = (Im P )
⊥⊥ = Im P .
Comme Ker P
⋆ est lui aussi ferm´ e il vient
H = Ker P
⋆ ⊕ (Ker P
⋆ )
⊥ = Ker P
⋆ ⊕ Im P .
Ce r´ esultat appliqu´ e ` a P = ∆ donne
H
•
L 2 (M, E) = Ker ∆ ⊕ Im ∆,
et il est clair d’apr` es (12.2 c) que Im ∆ ⊂ Im D ⊕ Im D
⋆ . Mais par ailleurs, on voit
facilement que Ker ∆, Im D et Im D ⋆ sont deux ` a deux orthogonaux en utilisant
(12.2 a,c). La propri´ et´ e d) s’ensuit comme dans le cas o` u M est compacte.
12.3. D´ efinition. Etant donn´ e une vari´ et´ e riemannienne (M, g) et un fibr´ e
hermitien E muni d’une connexion hermitienne plate D, on note H
p
DR, L 2 (M, E)
les groupes de cohomologie de De Rham L
2 , ` a savoir les groupes de cohomologie
du complexe (K
• , D) d´ efini par
K
p =
u ∈ L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) ; Du ∈ L
2
.
En d’autres termes, on a H
p
DR, L 2 (M, E) = Ker D/ Im D o` u D est l’extension
L
2 de la connexion, calcul´ ee au sens des distributions. Comme H
p
L 2 (M, E) =
Ker D/Im D d’apr` es (12.2 d), il s’ensuit :
12.4. Proposition. On a un isomorphisme canonique
H
p
L 2 (M, E) ≃ H
p
DR, L 2 (M, E) sep
entre H
p
L 2 (M, E) et l’espace s´ epar´ e associ´ e ` a la cohomologie de De Rham L
2 .
En g´ en´ eral l’espace H
p
DR, L 2 (M, E) n’est pas toujours s´ epar´ e, mais il l’est dans
le cas important o` u la cohomologie L
2 est de dimension finie :