12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
71
et ∆ est auto-adjoint.
d) Si D
2 = 0, il y a une d´ ecomposition orthogonale
L
2 (M, Λ
• T
⋆
M E) = H
•
L 2 (M, E) ⊕ Im D ⊕ Im D ⋆ ,
Ker D = H
•
L 2 (M, E) ⊕ Im D,
o` u H
•
L 2 (M, E) =
u ∈ L
2 (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E) ; ∆u = 0
est l’espace des formes
harmoniques L
2 sur M .
Preuve. a) Il faut montrer par exemple que tout ´ el´ ement u ∈ Dom D peut
ˆ etre approxim´ e pour la norme du graphe de D par des formes C
∞ ` a support
compact. Par hypoth` ese, u et Du sont dans L
2 . Soit (θ ν ) une suite de fonctions
tronquantes comme dans le lemme 12.1 d). Alors θ ν u → u dans L
2 (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E)
et D(θ ν u) = θ ν Du + dθ ν ∧ u o` u
|dθ ν ∧ u| |dθ ν | |u| 2
−ν |u|.
Par suite dθ ν ∧ u → 0 et D(θ ν u) → Du. Apr` es avoir remplac´ e u par θ ν u,
on peut supposer que u est ` a support compact, et ` a l’aide d’une partition de
l’unit´ e, on se ram` ene au cas o` u Supp u est contenu dans une carte de coordonn´ ees
de M sur laquelle E est trivial. Soit (ρ ε ) une famille de noyaux r´ egularisants.
Un lemme classique en th´ eorie des EDP (lemme de Friedrichs), montre que
pour tout op´ erateur diff´ erentiel P d’ordre 1 ` a coefficients de classe C
1 on a
P (ρ ε ⋆ u) − ρ ε P u L 2 → 0 lorsque ε tend vers 0 (u ´ etant une section L
2 ` a support
compact dans la carte consid´ er´ ee). En appliquant ce lemme ` a P = D, P = D
⋆
respectivement, on d´ eduit les propri´ et´ es de densit´ e voulues.
b) est ´ equivalent au fait que
Du, v = u, D
⋆ v, ∀u ∈ Dom D, ∀v ∈ Dom D
⋆ .
Or, d’apr` es a), on peut trouver u ν , v ν ∈ D(M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E) tels que
u ν → u, v ν → v, Du ν → Du et D
⋆ v ν → D
⋆ v dans L
2 (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E).
L’´ egalit´ e cherch´ ee est alors la limite des ´ egalit´ es Du ν , v ν = u ν , D
⋆ v ν .
c) Soit u ∈ Dom ∆. Comme ∆u ∈ L
2 et que ∆ est un op´ erateur elliptique
d’ordre 2, on obtient u ∈ W
2
loc grˆ ace ` a la version locale de l’in´ egalit´ e de G˚ arding.
En particulier Du, D
⋆ u ∈ W
1
loc ⊂ L
2
loc et nous pouvons effectuer toutes les
int´ egrations par parties que nous voulons apr` es avoir multipli´ e les formes mises en
jeu par des fonctions C
∞ ` a support compact θ ν . Des calculs simples donnent alors
θ ν Du
2 + θ ν D
⋆ u
2 =
= θ
2
ν Du, Du + u, D(θ
2
ν D
⋆ u)
= D(θ
2
ν u), Du + u, θ
2
ν DD
⋆ u − 2θ ν dθ ν ∧ u, Du + 2u, θ ν dθ ν ∧ D
⋆ u
= θ
2
ν u, ∆u − 2dθ ν ∧ u, θ ν Du + 2u, dθ ν ∧ (θ ν D
⋆ u)
θ
2
ν u, ∆u + 2
−ν
2θ ν Du u + 2θ ν D
⋆ u u
θ
2
ν u, ∆u + 2
−ν
θ ν Du
2 + θ ν D
⋆ u
2 + 2u
2
.
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et ∆ est auto-adjoint.
d) Si D
2 = 0, il y a une d´ ecomposition orthogonale
L
2 (M, Λ
• T
⋆
M E) = H
•
L 2 (M, E) ⊕ Im D ⊕ Im D ⋆ ,
Ker D = H
•
L 2 (M, E) ⊕ Im D,
o` u H
•
L 2 (M, E) =
u ∈ L
2 (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E) ; ∆u = 0
est l’espace des formes
harmoniques L
2 sur M .
Preuve. a) Il faut montrer par exemple que tout ´ el´ ement u ∈ Dom D peut
ˆ etre approxim´ e pour la norme du graphe de D par des formes C
∞ ` a support
compact. Par hypoth` ese, u et Du sont dans L
2 . Soit (θ ν ) une suite de fonctions
tronquantes comme dans le lemme 12.1 d). Alors θ ν u → u dans L
2 (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E)
et D(θ ν u) = θ ν Du + dθ ν ∧ u o` u
|dθ ν ∧ u| |dθ ν | |u| 2
−ν |u|.
Par suite dθ ν ∧ u → 0 et D(θ ν u) → Du. Apr` es avoir remplac´ e u par θ ν u,
on peut supposer que u est ` a support compact, et ` a l’aide d’une partition de
l’unit´ e, on se ram` ene au cas o` u Supp u est contenu dans une carte de coordonn´ ees
de M sur laquelle E est trivial. Soit (ρ ε ) une famille de noyaux r´ egularisants.
Un lemme classique en th´ eorie des EDP (lemme de Friedrichs), montre que
pour tout op´ erateur diff´ erentiel P d’ordre 1 ` a coefficients de classe C
1 on a
P (ρ ε ⋆ u) − ρ ε P u L 2 → 0 lorsque ε tend vers 0 (u ´ etant une section L
2 ` a support
compact dans la carte consid´ er´ ee). En appliquant ce lemme ` a P = D, P = D
⋆
respectivement, on d´ eduit les propri´ et´ es de densit´ e voulues.
b) est ´ equivalent au fait que
Du, v = u, D
⋆ v, ∀u ∈ Dom D, ∀v ∈ Dom D
⋆ .
Or, d’apr` es a), on peut trouver u ν , v ν ∈ D(M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E) tels que
u ν → u, v ν → v, Du ν → Du et D
⋆ v ν → D
⋆ v dans L
2 (M, Λ
• T
⋆
M ⊗ E).
L’´ egalit´ e cherch´ ee est alors la limite des ´ egalit´ es Du ν , v ν = u ν , D
⋆ v ν .
c) Soit u ∈ Dom ∆. Comme ∆u ∈ L
2 et que ∆ est un op´ erateur elliptique
d’ordre 2, on obtient u ∈ W
2
loc grˆ ace ` a la version locale de l’in´ egalit´ e de G˚ arding.
En particulier Du, D
⋆ u ∈ W
1
loc ⊂ L
2
loc et nous pouvons effectuer toutes les
int´ egrations par parties que nous voulons apr` es avoir multipli´ e les formes mises en
jeu par des fonctions C
∞ ` a support compact θ ν . Des calculs simples donnent alors
θ ν Du
2 + θ ν D
⋆ u
2 =
= θ
2
ν Du, Du + u, D(θ
2
ν D
⋆ u)
= D(θ
2
ν u), Du + u, θ
2
ν DD
⋆ u − 2θ ν dθ ν ∧ u, Du + 2u, θ ν dθ ν ∧ D
⋆ u
= θ
2
ν u, ∆u − 2dθ ν ∧ u, θ ν Du + 2u, dθ ν ∧ (θ ν D
⋆ u)
θ
2
ν u, ∆u + 2
−ν
2θ ν Du u + 2θ ν D
⋆ u u
θ
2
ν u, ∆u + 2
−ν
θ ν Du
2 + θ ν D
⋆ u
2 + 2u
2
.