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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
b) =⇒ a). C’est ´ evident !
Soit (M, g) une vari´ et´ e riemannienne, non n´ ecessairement compl` ete pour
l’instant, et E un fibr´ e vectoriel hermitien sur M muni d’une connexion hermitienne D. On consid´ ere l’op´ erateur non born´ e entre espaces de Hilbert encore not´ e
D
D : L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) −→ L
2 (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗ E),
dont le domaine Dom D est d´ efini comme suit : une section u ∈ L
2 est dite ˆ etre
dans Dom D si Du calcul´ e au sens des distributions est encore dans L
2 . Le domaine
ainsi d´ efini est toujours dense dans L
2 , car Dom D contient l’espace D(M, Λ
p T
⋆
M E)
des sections C
∞ ` a support compact, qui est lui-mˆ eme dense dans L
2 . De plus,
l’op´ erateur D ainsi d´ efini, bien que non born´ e, est ferm´ e, c’est-` a-dire que que son
graphe est ferm´ e ; cela r´ esulte aussitˆ ot du fait que les op´ erateurs diff´ erentiels sont
continus pour la topologie faible des distributions. L’adjoint formel D
⋆ admet de
mˆ eme une extension en un op´ erateur ferm´ e
D
⋆ : L
2 (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗ E) −→ L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E).
Des r´ esultats ´ el´ ementaires bien connus de th´ eorie spectrale dˆ us ` a Von Neumann
garantissent par ailleurs l’existence d’un op´ erateur D
⋆
H ferm´ e ` a domaine dense, appel´ e adjoint hilbertien de D, d´ efini comme suit : un ´ el´ ement v ∈ L
2 (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗
E) est dans Dom D
⋆
H si la forme lin´ eaire L
2 → C, u → →→Du, v est continue ; elle
s’´ ecrit alors u → →→u, w pour un unique ´ el´ ement w ∈ L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E). On pose
D
⋆
H v = w, de sorte que D
⋆
H est d´ efini par la relation habituelle d’adjonction
Du, v = u, D
⋆
H v
∀u ∈ Dom D.
(Noter que l’adjoint formel D
⋆ , lui, est d´ efini en exigeant seulement la validit´ e
de cette relation pour u ∈ D(M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E)). Il est clair qu’on a toujours
Dom D
⋆
H ⊂ Dom D
⋆ et que D
⋆
H = D
⋆ sur Dom D
⋆
H ; en g´ en´ eral, n´ eanmoins,
les domaines sont distincts (c’est le cas par exemple si M =]0, 1[, g = dx
2 ,
D = d/dx !). Une observation fondamentale est que ce ph´ enom` ene ne peut se
produire si la m´ etrique riemannienne g est compl` ete.
12.2. Proposition. Si la vari´ et´ e (M, g) est compl` ete, alors :
a) L’espace D(M, Λ
• T
⋆
M E) est dense dans Dom D, Dom D
⋆ et Dom D ∩ Dom D
⋆
respectivement, pour les normes des graphes
u → →u + Du, u → →u + D
⋆ u, u → →u + Du + D
⋆ u.
b) D
⋆
H = D
⋆ (i.e. les deux domaines co¨ ıncident), et D
⋆⋆
H = D
⋆⋆ = D.
c) Soit ∆ = DD
⋆ + D
⋆ D le laplacien calcul´ e au sens des distributions. Pour
tout u ∈ Dom ∆ ⊂ L
2 (M, Λ
• T
⋆
M E), on a u, ∆u = Du
2 + D
⋆ u
2 . En
particulier
Dom ∆ ⊂ Dom D ∩ Dom D
⋆ , Ker ∆ = Ker D ∩ Ker D
⋆ ,
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
b) =⇒ a). C’est ´ evident !
Soit (M, g) une vari´ et´ e riemannienne, non n´ ecessairement compl` ete pour
l’instant, et E un fibr´ e vectoriel hermitien sur M muni d’une connexion hermitienne D. On consid´ ere l’op´ erateur non born´ e entre espaces de Hilbert encore not´ e
D
D : L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E) −→ L
2 (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗ E),
dont le domaine Dom D est d´ efini comme suit : une section u ∈ L
2 est dite ˆ etre
dans Dom D si Du calcul´ e au sens des distributions est encore dans L
2 . Le domaine
ainsi d´ efini est toujours dense dans L
2 , car Dom D contient l’espace D(M, Λ
p T
⋆
M E)
des sections C
∞ ` a support compact, qui est lui-mˆ eme dense dans L
2 . De plus,
l’op´ erateur D ainsi d´ efini, bien que non born´ e, est ferm´ e, c’est-` a-dire que que son
graphe est ferm´ e ; cela r´ esulte aussitˆ ot du fait que les op´ erateurs diff´ erentiels sont
continus pour la topologie faible des distributions. L’adjoint formel D
⋆ admet de
mˆ eme une extension en un op´ erateur ferm´ e
D
⋆ : L
2 (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗ E) −→ L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E).
Des r´ esultats ´ el´ ementaires bien connus de th´ eorie spectrale dˆ us ` a Von Neumann
garantissent par ailleurs l’existence d’un op´ erateur D
⋆
H ferm´ e ` a domaine dense, appel´ e adjoint hilbertien de D, d´ efini comme suit : un ´ el´ ement v ∈ L
2 (M, Λ
p+1 T
⋆
M ⊗
E) est dans Dom D
⋆
H si la forme lin´ eaire L
2 → C, u → →→Du, v est continue ; elle
s’´ ecrit alors u → →→u, w pour un unique ´ el´ ement w ∈ L
2 (M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E). On pose
D
⋆
H v = w, de sorte que D
⋆
H est d´ efini par la relation habituelle d’adjonction
Du, v = u, D
⋆
H v
∀u ∈ Dom D.
(Noter que l’adjoint formel D
⋆ , lui, est d´ efini en exigeant seulement la validit´ e
de cette relation pour u ∈ D(M, Λ
p T
⋆
M ⊗ E)). Il est clair qu’on a toujours
Dom D
⋆
H ⊂ Dom D
⋆ et que D
⋆
H = D
⋆ sur Dom D
⋆
H ; en g´ en´ eral, n´ eanmoins,
les domaines sont distincts (c’est le cas par exemple si M =]0, 1[, g = dx
2 ,
D = d/dx !). Une observation fondamentale est que ce ph´ enom` ene ne peut se
produire si la m´ etrique riemannienne g est compl` ete.
12.2. Proposition. Si la vari´ et´ e (M, g) est compl` ete, alors :
a) L’espace D(M, Λ
• T
⋆
M E) est dense dans Dom D, Dom D
⋆ et Dom D ∩ Dom D
⋆
respectivement, pour les normes des graphes
u → →u + Du, u → →u + D
⋆ u, u → →u + Du + D
⋆ u.
b) D
⋆
H = D
⋆ (i.e. les deux domaines co¨ ıncident), et D
⋆⋆
H = D
⋆⋆ = D.
c) Soit ∆ = DD
⋆ + D
⋆ D le laplacien calcul´ e au sens des distributions. Pour
tout u ∈ Dom ∆ ⊂ L
2 (M, Λ
• T
⋆
M E), on a u, ∆u = Du
2 + D
⋆ u
2 . En
particulier
Dom ∆ ⊂ Dom D ∩ Dom D
⋆ , Ker ∆ = Ker D ∩ Ker D
⋆ ,