12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
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12.A. Vari´ et´ es riemanniennes compl` etes
Avant de traiter de la situation complexe, nous aurons besoin de quelques
consid´ erations g´ en´ erales sur la th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes
compl` etes. Rappelons qu’une vari´ et´ e riemannienne (M, g) est dite compl` ete si la
distance g´ eod´ esique δ g est compl` ete, ou, ce qui revient au mˆ eme (lemme de HopfRinow ci-dessous), si les boules g´ eod´ esiques ferm´ ees sont toutes compactes. Nous
aurons besoin plus pr´ ecis´ ement de la caract´ erisation suivante.
12.1. Lemme (Hopf-Rinow). Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes:
a) (M, g) est compl` ete ;
b) les boules g´ eod´ esiques ferm´ ees B g (a, r) sont compactes ;
c) il existe une fonction exhaustive ψ ∈ C
∞ (M, R) telle que |dψ| g 1 ;
d) il existe dans M une suite exhaustive (K ν ) ν∈N de compacts et des fonctions
θ ν ∈ C
∞ (M, R) telles que
θ ν = 1 sur un voisinage de K ν , Supp θ ν ⊂ K
◦
ν+1 ,
0 θ ν 1 et |dθ ν | g 2
−ν .
Preuve. a) =⇒ b). Le point x ´ etant fix´ e, on note r 0 = r 0 (x) le sup des r´ eels r > 0
tels que B g (a, r) soit compacte. Supposons r 0 < +∞. Etant donn´ e une suite de
points (x ν ) dans B g (a, r 0 ) et ε > 0, on choisit une suite de points x ν,ε ∈ B(a, r 0 −ε)
telle que δ g (x ν , x ν,ε ) < 2ε. Par compacit´ e de B g (a, r 0 −ε), on peut extraire de (x ν,ε
une sous-suite convergente pour chaque ε > 0. Grˆ ace ` a un proc´ ed´ e diagonal, on voit
facilement qu’on peut extraire de (x ν ) une sous-suite de Cauchy. Par cons´ equent
cette suite converge et B g (a, r 0 ) est compacte. La locale compacit´ e de M implique
que B g (a, r 0 + η) est encore compacte pour η > 0 assez petit, ce qui est une
contradiction si r 0 < +∞.
b) =⇒ c). Supposons M connexe. Choisissons un point x 0 ∈ M et posons
ψ 0 (x) =
1
2
δ(x 0 , x). Alors ψ 0 est exhaustive, et c’est une fonction lipschitzienne
de rapport
1
2 , donc ψ 0 est diff´ erentiable presque partout sur M . On obtient la
fonction ψ cherch´ ee par r´ egularisation.
c) =⇒ d). Soit ψ comme dans a) et soit ρ ∈ C
∞ (R, R) une fonction telle que ρ = 1
sur ] − ∞, 1.1], ρ = 0 sur [1.99, +∞[ and 0 ρ
′
2 sur [1, 2]. Alors
K ν = {x ∈ M ; ψ(x) 2
ν+1 }, θ ν (x) = ρ
2
−ν−1 ψ(x)
v´ erifient les propri´ et´ es annonc´ ees.
d) =⇒ c). Poser ψ =
2
ν−1 (1 − θ ν ).
c) =⇒ b). L’in´ egalit´ e |dψ| g 1 implique |ψ(x) − ψ(y)| δ g (x, y) pour tous
x, y ∈ M , donc la boule g´ eod´ esique B g (a, r) ⊂ {x ∈ M ; δ g (x, a) ψ(a) + r} est
relativement compacte.
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12.A. Vari´ et´ es riemanniennes compl` etes
Avant de traiter de la situation complexe, nous aurons besoin de quelques
consid´ erations g´ en´ erales sur la th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es riemanniennes
compl` etes. Rappelons qu’une vari´ et´ e riemannienne (M, g) est dite compl` ete si la
distance g´ eod´ esique δ g est compl` ete, ou, ce qui revient au mˆ eme (lemme de HopfRinow ci-dessous), si les boules g´ eod´ esiques ferm´ ees sont toutes compactes. Nous
aurons besoin plus pr´ ecis´ ement de la caract´ erisation suivante.
12.1. Lemme (Hopf-Rinow). Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes:
a) (M, g) est compl` ete ;
b) les boules g´ eod´ esiques ferm´ ees B g (a, r) sont compactes ;
c) il existe une fonction exhaustive ψ ∈ C
∞ (M, R) telle que |dψ| g 1 ;
d) il existe dans M une suite exhaustive (K ν ) ν∈N de compacts et des fonctions
θ ν ∈ C
∞ (M, R) telles que
θ ν = 1 sur un voisinage de K ν , Supp θ ν ⊂ K
◦
ν+1 ,
0 θ ν 1 et |dθ ν | g 2
−ν .
Preuve. a) =⇒ b). Le point x ´ etant fix´ e, on note r 0 = r 0 (x) le sup des r´ eels r > 0
tels que B g (a, r) soit compacte. Supposons r 0 < +∞. Etant donn´ e une suite de
points (x ν ) dans B g (a, r 0 ) et ε > 0, on choisit une suite de points x ν,ε ∈ B(a, r 0 −ε)
telle que δ g (x ν , x ν,ε ) < 2ε. Par compacit´ e de B g (a, r 0 −ε), on peut extraire de (x ν,ε
une sous-suite convergente pour chaque ε > 0. Grˆ ace ` a un proc´ ed´ e diagonal, on voit
facilement qu’on peut extraire de (x ν ) une sous-suite de Cauchy. Par cons´ equent
cette suite converge et B g (a, r 0 ) est compacte. La locale compacit´ e de M implique
que B g (a, r 0 + η) est encore compacte pour η > 0 assez petit, ce qui est une
contradiction si r 0 < +∞.
b) =⇒ c). Supposons M connexe. Choisissons un point x 0 ∈ M et posons
ψ 0 (x) =
1
2
δ(x 0 , x). Alors ψ 0 est exhaustive, et c’est une fonction lipschitzienne
de rapport
1
2 , donc ψ 0 est diff´ erentiable presque partout sur M . On obtient la
fonction ψ cherch´ ee par r´ egularisation.
c) =⇒ d). Soit ψ comme dans a) et soit ρ ∈ C
∞ (R, R) une fonction telle que ρ = 1
sur ] − ∞, 1.1], ρ = 0 sur [1.99, +∞[ and 0 ρ
′
2 sur [1, 2]. Alors
K ν = {x ∈ M ; ψ(x) 2
ν+1 }, θ ν (x) = ρ
2
−ν−1 ψ(x)
v´ erifient les propri´ et´ es annonc´ ees.
d) =⇒ c). Poser ψ =
2
ν−1 (1 − θ ν ).
c) =⇒ b). L’in´ egalit´ e |dψ| g 1 implique |ψ(x) − ψ(y)| δ g (x, y) pour tous
x, y ∈ M , donc la boule g´ eod´ esique B g (a, r) ⊂ {x ∈ M ; δ g (x, a) ψ(a) + r} est
relativement compacte.