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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
(´ eventuellement singuli` ere) sur E
⋆ , en posant
ξ
⋆
2 =
1jn
ξ
⋆ .σ j (x)
2
pour ξ
⋆ ∈ E
⋆
x .
La m´ etrique duale de E est donn´ ee par
ξ
2 =
|τ (ξ)|
2
|τ (σ 1 (x))| 2 + · · · + |τ (σ N (x))| 2
par rapport ` a toute trivialisation locale τ . La fonction poids associ´ ee est donc
donn´ ee par ϕ(x) = log
1jN |τ (σ j (x))|
2
1/2 . Dans ce cas ϕ est une fonction
psh, donc i Θ(E) est un courant positif ferm´ e. Notons Σ le syst` eme lin´ eaire d´ efini
par σ 1 , . . . , σ N et B Σ =
σ
−1
j (0) son ensemble base. On a une application
m´ eromorphe
Φ Σ : X B Σ → P
N−1 ,
x → [σ 1 (x) : σ 2 (x) : · · · : σ N (x)].
Avec ces notations, la courbure
i
2π
Θ(E) restreinte ` a X B Σ s’identifie ` a l’imageinverse par Φ Σ de la m´ etrique de Fubini-Study ω FS =
i
2π d
′ d
′′ log(|z 1 |
2 +· · ·+|z N |
2 )
sur P
N−1 . Elle est donc semi-positive.
11.23. Fibr´ es en droites amples et tr` es amples. Un fibr´ e en droites holomorphe E sur une vari´ et´ e complexe compacte X est dit
a) tr` es ample si l’application Φ |E| : X → P
N−1 associ´ ee au syst` eme lin´ eaire
complet |E| = P(H
0 (X, E)) est un plongement r´ egulier (ceci sous-entend en
particulier que l’ensemble base est vide, i.e. B |E| = ∅).
b) ample s’il existe un multiple mE, m > 0, qui soit tr` es ample.
Nous utilisons ici une notation additive pour Pic(X) = H
1 (X, O
⋆ ), le symbole
mE d´ esigne donc le fibr´ e en droites E
⊗m . Grˆ ace ` a l’exemple 11.22, tout fibr´ e
en droites ample E a une m´ etrique hermitienne de classe C
∞ ayant une forme
de courbure d´ efinie positive ; en effet, si le syst` eme lin´ eaire |mE| donne un
plongement dans l’espace projectif, alors on obtient une m´ etrique hermitienne
de classe C
∞ sur E
⊗m , et la racine m-i` eme donne une m´ etrique sur E telle
que
i
2π
Θ(E) =
1
m
Φ
⋆
|mE| ω FS . Inversement, le th´ eor` eme de plongement de Kodaira
[Kod54] nous dit que tout fibr´ e en droites positif E est ample (voir l’exercice 15.11
pour une preuve analytique directe de ce th´ eor` eme fondamental).
12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
Le but de cette section est essentiellement d’´ etendre au cas des vari´ et´ es
k¨ ahl´ eriennes compl` etes les r´ esultats de th´ eorie de Hodge d´ ej` a d´ emontr´ es dans le
cas compact.
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
(´ eventuellement singuli` ere) sur E
⋆ , en posant
ξ
⋆
2 =
1jn
ξ
⋆ .σ j (x)
2
pour ξ
⋆ ∈ E
⋆
x .
La m´ etrique duale de E est donn´ ee par
ξ
2 =
|τ (ξ)|
2
|τ (σ 1 (x))| 2 + · · · + |τ (σ N (x))| 2
par rapport ` a toute trivialisation locale τ . La fonction poids associ´ ee est donc
donn´ ee par ϕ(x) = log
1jN |τ (σ j (x))|
2
1/2 . Dans ce cas ϕ est une fonction
psh, donc i Θ(E) est un courant positif ferm´ e. Notons Σ le syst` eme lin´ eaire d´ efini
par σ 1 , . . . , σ N et B Σ =
σ
−1
j (0) son ensemble base. On a une application
m´ eromorphe
Φ Σ : X B Σ → P
N−1 ,
x → [σ 1 (x) : σ 2 (x) : · · · : σ N (x)].
Avec ces notations, la courbure
i
2π
Θ(E) restreinte ` a X B Σ s’identifie ` a l’imageinverse par Φ Σ de la m´ etrique de Fubini-Study ω FS =
i
2π d
′ d
′′ log(|z 1 |
2 +· · ·+|z N |
2 )
sur P
N−1 . Elle est donc semi-positive.
11.23. Fibr´ es en droites amples et tr` es amples. Un fibr´ e en droites holomorphe E sur une vari´ et´ e complexe compacte X est dit
a) tr` es ample si l’application Φ |E| : X → P
N−1 associ´ ee au syst` eme lin´ eaire
complet |E| = P(H
0 (X, E)) est un plongement r´ egulier (ceci sous-entend en
particulier que l’ensemble base est vide, i.e. B |E| = ∅).
b) ample s’il existe un multiple mE, m > 0, qui soit tr` es ample.
Nous utilisons ici une notation additive pour Pic(X) = H
1 (X, O
⋆ ), le symbole
mE d´ esigne donc le fibr´ e en droites E
⊗m . Grˆ ace ` a l’exemple 11.22, tout fibr´ e
en droites ample E a une m´ etrique hermitienne de classe C
∞ ayant une forme
de courbure d´ efinie positive ; en effet, si le syst` eme lin´ eaire |mE| donne un
plongement dans l’espace projectif, alors on obtient une m´ etrique hermitienne
de classe C
∞ sur E
⊗m , et la racine m-i` eme donne une m´ etrique sur E telle
que
i
2π
Θ(E) =
1
m
Φ
⋆
|mE| ω FS . Inversement, le th´ eor` eme de plongement de Kodaira
[Kod54] nous dit que tout fibr´ e en droites positif E est ample (voir l’exercice 15.11
pour une preuve analytique directe de ce th´ eor` eme fondamental).
12. Th´ eorie de Hodge des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compl` etes
Le but de cette section est essentiellement d’´ etendre au cas des vari´ et´ es
k¨ ahl´ eriennes compl` etes les r´ esultats de th´ eorie de Hodge d´ ej` a d´ emontr´ es dans le
cas compact.