11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e
67
est une (1, 1)-forme r´ eelle. Donc E est semi-positif (au sens de Nakano ou au
sens de Griffiths) si et seulement si ϕ est psh, resp. positif si et seulement si
ϕ est strictement psh. Dans ce contexte, l’´ equation de Lelong-Poincar´ e peut se
g´ en´ eraliser comme suit : soit σ ∈ H
0 (X, E) une section holomorphe non nulle.
Alors
(11.19)
dd
c log σ = [Z σ ] −
i
2π
Θ(E).
La Formule (11.19) est imm´ ediate si on ´ ecrit σ = |τ (σ)|e
−ϕ et si on applique
l’´ equation de Lelong-Poincar´ e ` a la fonction holomorphe f = τ (σ). Comme nous le
verrons plus tard, il est important pour les applications de consid´ erer aussi le cas
de m´ etriques hermitiennes singuli` eres (cf. [Dem90b]).
11.20. D´ efinition. Une m´ etrique (hermitienne) singuli` ere sur un fibr´ e en droites
E est une m´ etrique donn´ ee dans toute trivialisation τ : E ↾Ω
≃
−→ Ω × C par
ξ = |τ (ξ)| e
−ϕ(x) , x ∈ Ω, ξ ∈ E x
o` u ϕ ∈ L
1
loc (Ω) est une fonction arbitraire, appel´ ee poids de la m´ etrique par rapport
` a la trivialisation τ .
Si τ
′ : E ↾Ω ′ → Ω
′ × C est une autre trivialisation, ϕ
′ le poids associ´ e et
g ∈ O
⋆ (Ω ∩ Ω
′ ) la fonction de transition, alors τ
′ (ξ) = g(x) τ (ξ) pour tout ξ ∈ E x ,
donc ϕ
′ = ϕ + log |g| sur Ω ∩ Ω
′ . La forme de courbure de E est alors donn´ ee
formellement par le courant de bidegr´ e (1, 1)
i
π
Θ(E) = dd
c ϕ sur Ω ; l’hypoth` ese
ϕ ∈ L
1
loc (Ω) garantit que Θ(E) existe au sens des distributions. Comme dans le cas
C
∞ , la forme
i
π
Θ(E) est globalement d´ efinie sur X et ind´ ependante du choix des
trivialisations, et sa classe de cohomologie de De Rham est l’image de la premi` ere
classe de Chern c 1 (E) ∈ H
2 (X, Z) dans H
2
DR (X, R). Avant d’aller plus loin, nous
discutons deux exemples fondamentaux.
11.21. Exemple. Soit D =
α j D j un diviseur ` a coefficients α j ∈ Z et soit
E = O(D) le faisceau inversible associ´ e, d´ efini comme le faisceau des fonctions
m´ eromorphes u telles que div(u) + D 0 ; le fibr´ e en droites correspondant peut
alors ˆ etre muni de la m´ etrique singuli` ere d´ efinie par u = |u| (module de la
fonction m´ eromorphe u). Si g j est un g´ en´ erateur de l’id´ eal de D j sur un ouvert
Ω ⊂ X, alors τ (u) = u
g
α j
j d´ efinit une trivialisation de O(D) sur Ω, donc notre
m´ etrique singuli` ere est associ´ ee au poids ϕ =
α j log |g j |. L’´ equation de LelongPoincar´ e implique
i
π
Θ
O(D)
= dd
c ϕ = [D],
o` u [D] =
α j [D j ] d´ esigne le courant d’int´ egration sur D.
11.22. Exemple. Supposons que σ 1 , . . . , σ N soient des sections holomorphes
non nulles de E. On peut alors d´ efinir un m´ etrique hermitienne naturelle
67
est une (1, 1)-forme r´ eelle. Donc E est semi-positif (au sens de Nakano ou au
sens de Griffiths) si et seulement si ϕ est psh, resp. positif si et seulement si
ϕ est strictement psh. Dans ce contexte, l’´ equation de Lelong-Poincar´ e peut se
g´ en´ eraliser comme suit : soit σ ∈ H
0 (X, E) une section holomorphe non nulle.
Alors
(11.19)
dd
c log σ = [Z σ ] −
i
2π
Θ(E).
La Formule (11.19) est imm´ ediate si on ´ ecrit σ = |τ (σ)|e
−ϕ et si on applique
l’´ equation de Lelong-Poincar´ e ` a la fonction holomorphe f = τ (σ). Comme nous le
verrons plus tard, il est important pour les applications de consid´ erer aussi le cas
de m´ etriques hermitiennes singuli` eres (cf. [Dem90b]).
11.20. D´ efinition. Une m´ etrique (hermitienne) singuli` ere sur un fibr´ e en droites
E est une m´ etrique donn´ ee dans toute trivialisation τ : E ↾Ω
≃
−→ Ω × C par
ξ = |τ (ξ)| e
−ϕ(x) , x ∈ Ω, ξ ∈ E x
o` u ϕ ∈ L
1
loc (Ω) est une fonction arbitraire, appel´ ee poids de la m´ etrique par rapport
` a la trivialisation τ .
Si τ
′ : E ↾Ω ′ → Ω
′ × C est une autre trivialisation, ϕ
′ le poids associ´ e et
g ∈ O
⋆ (Ω ∩ Ω
′ ) la fonction de transition, alors τ
′ (ξ) = g(x) τ (ξ) pour tout ξ ∈ E x ,
donc ϕ
′ = ϕ + log |g| sur Ω ∩ Ω
′ . La forme de courbure de E est alors donn´ ee
formellement par le courant de bidegr´ e (1, 1)
i
π
Θ(E) = dd
c ϕ sur Ω ; l’hypoth` ese
ϕ ∈ L
1
loc (Ω) garantit que Θ(E) existe au sens des distributions. Comme dans le cas
C
∞ , la forme
i
π
Θ(E) est globalement d´ efinie sur X et ind´ ependante du choix des
trivialisations, et sa classe de cohomologie de De Rham est l’image de la premi` ere
classe de Chern c 1 (E) ∈ H
2 (X, Z) dans H
2
DR (X, R). Avant d’aller plus loin, nous
discutons deux exemples fondamentaux.
11.21. Exemple. Soit D =
α j D j un diviseur ` a coefficients α j ∈ Z et soit
E = O(D) le faisceau inversible associ´ e, d´ efini comme le faisceau des fonctions
m´ eromorphes u telles que div(u) + D 0 ; le fibr´ e en droites correspondant peut
alors ˆ etre muni de la m´ etrique singuli` ere d´ efinie par u = |u| (module de la
fonction m´ eromorphe u). Si g j est un g´ en´ erateur de l’id´ eal de D j sur un ouvert
Ω ⊂ X, alors τ (u) = u
g
α j
j d´ efinit une trivialisation de O(D) sur Ω, donc notre
m´ etrique singuli` ere est associ´ ee au poids ϕ =
α j log |g j |. L’´ equation de LelongPoincar´ e implique
i
π
Θ
O(D)
= dd
c ϕ = [D],
o` u [D] =
α j [D j ] d´ esigne le courant d’int´ egration sur D.
11.22. Exemple. Supposons que σ 1 , . . . , σ N soient des sections holomorphes
non nulles de E. On peut alors d´ efinir un m´ etrique hermitienne naturelle