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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
H
p,q (X, F ) ` a tout courant d
′′ -ferm´ e de bidegr´ e (p, q). En rempla¸ cant si n´ ecessaire
les courants mis en jeu par des repr´ esentants C
∞ de mˆ eme classe de cohomologie,
on voit qu’il existe un accouplement de cup produit bien d´ efini, donn´ e par le
produit ext´ erieur des formes diff´ erentielles
H
q 1 (M, R) × · · · × H
q m (M, R) −→ H
q 1 +···+q m (M, R),
({Θ 1 }, . . . , {Θ 1 }) −→ {Θ 1 } ∧ · · · ∧ {Θ m }.
En particulier, si M est une vari´ et´ e compacte orient´ ee et si q 1 + · · · + q m = dim M ,
on obtient un nombre d’intersection bien d´ efini
{Θ 1 } · {Θ 2 } · · · · · {Θ m } =
M
{Θ 1 } ∧ · · · ∧ {Θ m }.
Notons cependant que le produit ponctuel Θ 1 ∧ · · · ∧ Θ m n’existe pas en g´ en´ eral.
11.C. Fibr´ es vectoriels positifs
Soit (E, h) un fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien sur une vari´ et´ e complexe X.
Son tenseur de courbure de Chern
Θ(E) =
1j,kn, 1λ,µr
c jkλµ dz j ∧ dz k ⊗ e
⋆
λ ⊗ e µ .
peut s’identifier ` a une forme hermitienne sur T X ⊗ E, ` a savoir,
(11.16)
Θ(E)(ξ ⊗ v) =
1j,kn, 1λ,µr
c jkλµ ξ j ξ k v λ v µ ,
c jkλµ = c kjµλ .
Ceci conduit d’une mani` ere naturelle aux concepts de positivit´ e, en suivant des
d´ efinitions introduites par Kodaira [Kod53], Nakano [Nak55] et Griffiths [Gri66].
11.17. D´ efinition. Le fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien E est dit
a) positif au sens de Nakano si :
Θ(E)(τ ) > 0 pour tout tenseur non nul τ =
τ jλ ∂/∂z j ⊗ e λ ∈ T X ⊗ E.
b) positif au sens de Griffiths si :
Θ(E)(ξ ⊗ v) > 0 pour tout tenseur d´ ecomposable non nul ξ ⊗ v ∈ T X ⊗ E ;
Les concepts de semi-positivit´ e correspondants sont d´ efinis en relˆ achant les
in´ egalit´ es strictes en des in´ egalit´ es larges.
11.18. Cas particulier des fibr´ es de rang 1. Supposons que E soit un
fibr´ e en droites. La matrice hermitienne H = (h 11 ) associ´ ee ` a une trivialisation
τ : E ↾Ω ≃ Ω × C est alors simplement une fonction positive, et il sera commode
de la noter e
−2ϕ , ϕ ∈ C
∞ (Ω, R). Dans ce cas, la forme de courbure Θ(E) peut
s’identifier ` a la (1, 1)-forme 2d
′ d
′′ ϕ, et
i
2π
Θ(E) =
i
π
d
′ d
′′ ϕ = dd
c ϕ
o` u d
c =
i
2π
(d
′′ − d
′ )
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
H
p,q (X, F ) ` a tout courant d
′′ -ferm´ e de bidegr´ e (p, q). En rempla¸ cant si n´ ecessaire
les courants mis en jeu par des repr´ esentants C
∞ de mˆ eme classe de cohomologie,
on voit qu’il existe un accouplement de cup produit bien d´ efini, donn´ e par le
produit ext´ erieur des formes diff´ erentielles
H
q 1 (M, R) × · · · × H
q m (M, R) −→ H
q 1 +···+q m (M, R),
({Θ 1 }, . . . , {Θ 1 }) −→ {Θ 1 } ∧ · · · ∧ {Θ m }.
En particulier, si M est une vari´ et´ e compacte orient´ ee et si q 1 + · · · + q m = dim M ,
on obtient un nombre d’intersection bien d´ efini
{Θ 1 } · {Θ 2 } · · · · · {Θ m } =
M
{Θ 1 } ∧ · · · ∧ {Θ m }.
Notons cependant que le produit ponctuel Θ 1 ∧ · · · ∧ Θ m n’existe pas en g´ en´ eral.
11.C. Fibr´ es vectoriels positifs
Soit (E, h) un fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien sur une vari´ et´ e complexe X.
Son tenseur de courbure de Chern
Θ(E) =
1j,kn, 1λ,µr
c jkλµ dz j ∧ dz k ⊗ e
⋆
λ ⊗ e µ .
peut s’identifier ` a une forme hermitienne sur T X ⊗ E, ` a savoir,
(11.16)
Θ(E)(ξ ⊗ v) =
1j,kn, 1λ,µr
c jkλµ ξ j ξ k v λ v µ ,
c jkλµ = c kjµλ .
Ceci conduit d’une mani` ere naturelle aux concepts de positivit´ e, en suivant des
d´ efinitions introduites par Kodaira [Kod53], Nakano [Nak55] et Griffiths [Gri66].
11.17. D´ efinition. Le fibr´ e vectoriel holomorphe hermitien E est dit
a) positif au sens de Nakano si :
Θ(E)(τ ) > 0 pour tout tenseur non nul τ =
τ jλ ∂/∂z j ⊗ e λ ∈ T X ⊗ E.
b) positif au sens de Griffiths si :
Θ(E)(ξ ⊗ v) > 0 pour tout tenseur d´ ecomposable non nul ξ ⊗ v ∈ T X ⊗ E ;
Les concepts de semi-positivit´ e correspondants sont d´ efinis en relˆ achant les
in´ egalit´ es strictes en des in´ egalit´ es larges.
11.18. Cas particulier des fibr´ es de rang 1. Supposons que E soit un
fibr´ e en droites. La matrice hermitienne H = (h 11 ) associ´ ee ` a une trivialisation
τ : E ↾Ω ≃ Ω × C est alors simplement une fonction positive, et il sera commode
de la noter e
−2ϕ , ϕ ∈ C
∞ (Ω, R). Dans ce cas, la forme de courbure Θ(E) peut
s’identifier ` a la (1, 1)-forme 2d
′ d
′′ ϕ, et
i
2π
Θ(E) =
i
π
d
′ d
′′ ϕ = dd
c ϕ
o` u d
c =
i
2π
(d
′′ − d
′ )