11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e
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ne fournit aucune contribution au courant bord d[A]. Finalement, en liaison avec
l’exemple 11.12, nous avons l’importante
11.14. ´
Equation de Lelong-Poincar´ e. Soit f ∈ H
0 (X, O X ) une fonction
holomorphe non nulle, Z f =
m j Z j , m j ∈ N, le diviseur des z´ eros de f , et
[Z f ] =
m j [Z j ] le courant d’int´ egration associ´ e. Alors
i
π
∂∂ log |f | = [Z f ].
Preuve (abr´ eg´ ee). Il est clair que i d
′ d
′′ log |f | = 0 au voisinage de tout point
x /
∈ Supp(Z f ) =
Z j , par suite il suffit de v´ erifier l’´ equation au voisinage de
tout point de Supp(Z f ). Soit A l’ensemble des points singuliers de Supp(Z f ), i.e.
la r´ eunion des intersections Z j ∩ Z k et des lieux singuliers Z j,sing ; nous avons
alors dim A n − 2. Au voisinage de tout point x ∈ Supp(Z f ) A il existe des
coordonn´ ees locales (z 1 , . . . , z n ) telles que f (z) = z
m j
1 , o` u m j est la multiplicit´ e
de f le long de la composante Z j qui contient x, et o` u z 1 = 0 est une ´ equation
locale de Z j pr` es de x. Comme
i
π
d
′ d
′′ log |z| = mesure de Dirac δ 0 dans C, nous
trouvons
i
π d
′ d
′′ log |z 1 | = [hyperplan z 1 = 0], donc
i
π
d
′ d
′′ log |f | = m j
i
π
d
′ d
′′ log |z 1 | = m j [Z j ]
au voisinage de x. Ceci montre que l’´ equation est bien v´ erifi´ ee sur X A. Par
suite la diff´ erence
i
π d
′ d
′′ log |f | − [Z f ] est un courant ferm´ e de degr´ e 2 ` a coefficients
mesures, dont le support est contenu dans A. Ce courant est n´ ecessairement nul
car A est de dimension trop petite pour pouvoir porter son support (A est stratifi´ e
en sous-vari´ et´ es de codimension r´ eelle 4, alors que le courant lui-mˆ eme est de
codimension r´ eelle 2).
Pour conclure ce paragraphe, nous abordons maintenant les notions de cohomologie de De Rham et de Dolbeault dans le contexte de la th´ eorie des
courants. Une observation de base est que les lemmes de Poincar´ e et de DolbeaultGrothendieck sont encore valables pour les courants. De fa¸ con pr´ ecise, si (D
′q , d) et
(D
′ (F )
p,q , d
′′ ) d´ esignent les complexes de faisceaux des courants de degr´ e q (resp.
des courants de bidegr´ es (p, q) ` a valeurs dans un fibr´ e vectoriel holomorphe F ), on
a encore des r´ esolutions de De Rham et de Dolbeault faisceautiques
0 → R → D
′• ,
0 → Ω
p
X ⊗ O(F ) → D
′ (F )
p,• .
De l` a il r´ esulte des isomorphismes canoniques
H
q
DR (M, R) = H
q
(Γ(M, D
′• ), d)
,
(11.15)
H
p,q (X, F ) = H
q
(Γ(X, D
′ (F )
p,• ), d
′′ )
.
En d’autres termes, on peut attacher une classe de cohomologie {Θ} ∈ H
q
DR (M, R)
` a tout courant ferm´ e Θ de degr´ e q, resp. une classe de cohomologie {Θ} ∈
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ne fournit aucune contribution au courant bord d[A]. Finalement, en liaison avec
l’exemple 11.12, nous avons l’importante
11.14. ´
Equation de Lelong-Poincar´ e. Soit f ∈ H
0 (X, O X ) une fonction
holomorphe non nulle, Z f =
m j Z j , m j ∈ N, le diviseur des z´ eros de f , et
[Z f ] =
m j [Z j ] le courant d’int´ egration associ´ e. Alors
i
π
∂∂ log |f | = [Z f ].
Preuve (abr´ eg´ ee). Il est clair que i d
′ d
′′ log |f | = 0 au voisinage de tout point
x /
∈ Supp(Z f ) =
Z j , par suite il suffit de v´ erifier l’´ equation au voisinage de
tout point de Supp(Z f ). Soit A l’ensemble des points singuliers de Supp(Z f ), i.e.
la r´ eunion des intersections Z j ∩ Z k et des lieux singuliers Z j,sing ; nous avons
alors dim A n − 2. Au voisinage de tout point x ∈ Supp(Z f ) A il existe des
coordonn´ ees locales (z 1 , . . . , z n ) telles que f (z) = z
m j
1 , o` u m j est la multiplicit´ e
de f le long de la composante Z j qui contient x, et o` u z 1 = 0 est une ´ equation
locale de Z j pr` es de x. Comme
i
π
d
′ d
′′ log |z| = mesure de Dirac δ 0 dans C, nous
trouvons
i
π d
′ d
′′ log |z 1 | = [hyperplan z 1 = 0], donc
i
π
d
′ d
′′ log |f | = m j
i
π
d
′ d
′′ log |z 1 | = m j [Z j ]
au voisinage de x. Ceci montre que l’´ equation est bien v´ erifi´ ee sur X A. Par
suite la diff´ erence
i
π d
′ d
′′ log |f | − [Z f ] est un courant ferm´ e de degr´ e 2 ` a coefficients
mesures, dont le support est contenu dans A. Ce courant est n´ ecessairement nul
car A est de dimension trop petite pour pouvoir porter son support (A est stratifi´ e
en sous-vari´ et´ es de codimension r´ eelle 4, alors que le courant lui-mˆ eme est de
codimension r´ eelle 2).
Pour conclure ce paragraphe, nous abordons maintenant les notions de cohomologie de De Rham et de Dolbeault dans le contexte de la th´ eorie des
courants. Une observation de base est que les lemmes de Poincar´ e et de DolbeaultGrothendieck sont encore valables pour les courants. De fa¸ con pr´ ecise, si (D
′q , d) et
(D
′ (F )
p,q , d
′′ ) d´ esignent les complexes de faisceaux des courants de degr´ e q (resp.
des courants de bidegr´ es (p, q) ` a valeurs dans un fibr´ e vectoriel holomorphe F ), on
a encore des r´ esolutions de De Rham et de Dolbeault faisceautiques
0 → R → D
′• ,
0 → Ω
p
X ⊗ O(F ) → D
′ (F )
p,• .
De l` a il r´ esulte des isomorphismes canoniques
H
q
DR (M, R) = H
q
(Γ(M, D
′• ), d)
,
(11.15)
H
p,q (X, F ) = H
q
(Γ(X, D
′ (F )
p,• ), d
′′ )
.
En d’autres termes, on peut attacher une classe de cohomologie {Θ} ∈ H
q
DR (M, R)
` a tout courant ferm´ e Θ de degr´ e q, resp. une classe de cohomologie {Θ} ∈