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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
11.12. Exemple. Si u est une fonction psh (non identiquement −∞) sur X, on
peut associer ` a u un courant positif ferm´ e Θ = i∂∂u de bidegr´ e (1, 1). Inversement,
tout courant positif ferm´ e de bidegr´ e (1, 1) peut s’´ ecrire sous cette forme sur tout
sous-ensemble ouvert Ω ⊂ X tel que H
2
DR (Ω, R) = H
1 (Ω, O) = 0, par exemple sur
des ouverts de coordonn´ ees biholomorphes ` a des boules (exercice pour le lecteur).
Il n’est pas difficile de montrer qu’un produit Θ 1 ∧ · · · ∧ Θ q de courants
positifs de bidegr´ e (1, 1) est positif chaque fois que le produit est bien d´ efini
(c’est certainement le cas si tous Θ j sauf un au plus sont de classe C
∞ ) ; d’autres
conditions beaucoup plus fines existent, mais nous laisserons ce sujet de cˆ ot´ e ici.
Nous discutons maintenant un autre exemple tr` es important de courant positif
ferm´ e. A tout ensemble analytique A ferm´ e dans X, de dimension pure p, on associe
un courant d’int´ egration
(11.13)
[A], α =
A reg
α,
α ∈ D
p,p (X),
obtenu en int´ egrant α sur l’ensemble des points r´ eguliers de A. En vue de
montrer que (11.13) donne bien une d´ efinition l´ egitime d’un courant sur X, il
faut montrer que A reg est localement d’aire finie dans un voisinage de tout point
de A sing . Ce r´ esultat, dˆ u ` a [Lel57] peut se montrer comme suit. Supposons (apr` es
translation des coordonn´ ees) que 0 ∈ A sing . Du th´ eor` eme de param´ etrisation locale
pour les ensembles analytiques, on d´ eduit qu’il existe un changement lin´ eaire de
coordonn´ ees sur C
n tel que toutes les projections
π I : (z 1 , . . . , z n ) → (z i 1 , . . . , z i p )
d´ efinissent des revˆ etements ramifi´ es finis de l’intersection A∩∆ I de A avec un petit
polydisque ∆ I = ∆
′
I × ∆
′′
I de C
n = C
p × C
n−p , sur le polydisque ∆
′
I de C
p . Soit
n I le nombre de feuillets de chacun de ces revˆ etements. Alors, si ∆ =
∆ I , l’aire
p-dimensionnelle de A ∩ ∆ est major´ ee par la somme des aires de ses projections
compt´ ees avec multiplicit´ es, i.e.
Aire(A ∩ ∆)
n I Vol(∆
′
I ).
Le fait que [A] soit positif est facile. En fait, en termes de coordonn´ ees locales
(w 1 , . . . , w p ) sur A reg , on a
iα 1 ∧ α 1 ∧ · · · ∧ iα p ∧ α p = | det(α jk )|
2 iw 1 ∧ w 1 ∧ · · · ∧ iw p ∧ w p
si α j =
α jk dw k . Ceci montre qu’un tel produit de formes est 0 par rapport ` a
l’orientation canonique d´ efinie par iw 1 ∧w 1 ∧· · ·∧iw p ∧w p . Un r´ esultat plus profond,
´ egalement d´ emontr´ e par P. Lelong [Lel57], est que [A] est un courant d-ferm´ e
sur X, en d’autres termes, l’ensemble A sing (qui est de dimension r´ eelle 2p − 2)
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
11.12. Exemple. Si u est une fonction psh (non identiquement −∞) sur X, on
peut associer ` a u un courant positif ferm´ e Θ = i∂∂u de bidegr´ e (1, 1). Inversement,
tout courant positif ferm´ e de bidegr´ e (1, 1) peut s’´ ecrire sous cette forme sur tout
sous-ensemble ouvert Ω ⊂ X tel que H
2
DR (Ω, R) = H
1 (Ω, O) = 0, par exemple sur
des ouverts de coordonn´ ees biholomorphes ` a des boules (exercice pour le lecteur).
Il n’est pas difficile de montrer qu’un produit Θ 1 ∧ · · · ∧ Θ q de courants
positifs de bidegr´ e (1, 1) est positif chaque fois que le produit est bien d´ efini
(c’est certainement le cas si tous Θ j sauf un au plus sont de classe C
∞ ) ; d’autres
conditions beaucoup plus fines existent, mais nous laisserons ce sujet de cˆ ot´ e ici.
Nous discutons maintenant un autre exemple tr` es important de courant positif
ferm´ e. A tout ensemble analytique A ferm´ e dans X, de dimension pure p, on associe
un courant d’int´ egration
(11.13)
[A], α =
A reg
α,
α ∈ D
p,p (X),
obtenu en int´ egrant α sur l’ensemble des points r´ eguliers de A. En vue de
montrer que (11.13) donne bien une d´ efinition l´ egitime d’un courant sur X, il
faut montrer que A reg est localement d’aire finie dans un voisinage de tout point
de A sing . Ce r´ esultat, dˆ u ` a [Lel57] peut se montrer comme suit. Supposons (apr` es
translation des coordonn´ ees) que 0 ∈ A sing . Du th´ eor` eme de param´ etrisation locale
pour les ensembles analytiques, on d´ eduit qu’il existe un changement lin´ eaire de
coordonn´ ees sur C
n tel que toutes les projections
π I : (z 1 , . . . , z n ) → (z i 1 , . . . , z i p )
d´ efinissent des revˆ etements ramifi´ es finis de l’intersection A∩∆ I de A avec un petit
polydisque ∆ I = ∆
′
I × ∆
′′
I de C
n = C
p × C
n−p , sur le polydisque ∆
′
I de C
p . Soit
n I le nombre de feuillets de chacun de ces revˆ etements. Alors, si ∆ =
∆ I , l’aire
p-dimensionnelle de A ∩ ∆ est major´ ee par la somme des aires de ses projections
compt´ ees avec multiplicit´ es, i.e.
Aire(A ∩ ∆)
n I Vol(∆
′
I ).
Le fait que [A] soit positif est facile. En fait, en termes de coordonn´ ees locales
(w 1 , . . . , w p ) sur A reg , on a
iα 1 ∧ α 1 ∧ · · · ∧ iα p ∧ α p = | det(α jk )|
2 iw 1 ∧ w 1 ∧ · · · ∧ iw p ∧ w p
si α j =
α jk dw k . Ceci montre qu’un tel produit de formes est 0 par rapport ` a
l’orientation canonique d´ efinie par iw 1 ∧w 1 ∧· · ·∧iw p ∧w p . Un r´ esultat plus profond,
´ egalement d´ emontr´ e par P. Lelong [Lel57], est que [A] est un courant d-ferm´ e
sur X, en d’autres termes, l’ensemble A sing (qui est de dimension r´ eelle 2p − 2)