11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e
63
de degr´ e q sur M sera not´ e D
′q (M ). Alternativement, on peut consid´ erer les
courants de degr´ e q comme les ´ el´ ements Θ du dual D
′
p (M ) :=
D
p (M )
′ de l’espace
D
p (M ) des formes diff´ erentielles C
∞ de degr´ e p = dim M − q ` a support compact ;
l’accouplement de dualit´ e est donn´ e par
(11.8)
Θ, α =
M
Θ ∧ α, α ∈ D
p (M ).
Un exemple fondamental est le courant d’int´ egration [S] sur une sous-vari´ et´ e S
orient´ ee et compacte (´ eventuellement ` a bord) de M :
(11.9)
[S], α =
S
α, degα = p = dim R S.
Alors [S] est un courant ` a coefficients mesures, et la formule de Stokes montre
que d[S] = (−1)
q−1 [∂S], en particulier d[S] = 0 si et seulement si S est une
sous-vari´ et´ e sans bord. En raison de cet exemple, l’entier p est appel´ e dimension
de Θ ∈ D
′
p (M ). On dit que le courant Θ est ferm´ e si dΘ = 0.
Sur une vari´ et´ e complexe X, nous avons des notions analogues de bidegr´ e et
de bidimension ; comme dans le cas r´ eel, nous notons
D
′p,q (X) = D
′
n−p,n−q (X),
n = dim X,
l’espace des courants de bidegr´ e (p, q) et bidimension (n − p, n − q) sur X. Suivant
[Lel57], un courant Θ de bidimension (p, p) est dit (faiblement) positif si pour tout
choix de (1, 0)-formes α 1 , . . . , α p de classe C
∞ sur X la distribution
(11.10)
Θ ∧ iα 1 ∧ α 1 ∧ · · · ∧ iα p ∧ α p est une mesure positive.
11.11. Exercice. Si Θ est positif, montrer que les coefficients Θ I,J de Θ sont
des mesures complexes, et qu’ils sont major´ es ` a des constantes pr` es par la mesure
trace
σ Θ = Θ ∧
1
p!
β
p = 2
−p
Θ I,I ,
o` u β =
i
2
d
′ d
′′ |z|
2 =
i
2
1jn
dz j ∧ dz j ,
qui est une mesure positive.
Indication. Observer que
Θ I,I est invariant par des changements de coordonn´ ees
unitaires et que les (p, p)-formes iα 1 ∧α 1 ∧· · ·∧iα p ∧α p engendrent Λ
p,p T
⋆
C n comme
C-espace vectoriel.
On voit facilement qu’un courant Θ = i
1j,kn Θ jk dz j ∧ dz k de bidegr´ e
(1, 1) est positif si et seulement si la mesure complexe
λ j λ k Θ jk est une mesure
positive pour tout n-uplet (λ 1 , . . . , λ n ) ∈ C
n .
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de degr´ e q sur M sera not´ e D
′q (M ). Alternativement, on peut consid´ erer les
courants de degr´ e q comme les ´ el´ ements Θ du dual D
′
p (M ) :=
D
p (M )
′ de l’espace
D
p (M ) des formes diff´ erentielles C
∞ de degr´ e p = dim M − q ` a support compact ;
l’accouplement de dualit´ e est donn´ e par
(11.8)
Θ, α =
M
Θ ∧ α, α ∈ D
p (M ).
Un exemple fondamental est le courant d’int´ egration [S] sur une sous-vari´ et´ e S
orient´ ee et compacte (´ eventuellement ` a bord) de M :
(11.9)
[S], α =
S
α, degα = p = dim R S.
Alors [S] est un courant ` a coefficients mesures, et la formule de Stokes montre
que d[S] = (−1)
q−1 [∂S], en particulier d[S] = 0 si et seulement si S est une
sous-vari´ et´ e sans bord. En raison de cet exemple, l’entier p est appel´ e dimension
de Θ ∈ D
′
p (M ). On dit que le courant Θ est ferm´ e si dΘ = 0.
Sur une vari´ et´ e complexe X, nous avons des notions analogues de bidegr´ e et
de bidimension ; comme dans le cas r´ eel, nous notons
D
′p,q (X) = D
′
n−p,n−q (X),
n = dim X,
l’espace des courants de bidegr´ e (p, q) et bidimension (n − p, n − q) sur X. Suivant
[Lel57], un courant Θ de bidimension (p, p) est dit (faiblement) positif si pour tout
choix de (1, 0)-formes α 1 , . . . , α p de classe C
∞ sur X la distribution
(11.10)
Θ ∧ iα 1 ∧ α 1 ∧ · · · ∧ iα p ∧ α p est une mesure positive.
11.11. Exercice. Si Θ est positif, montrer que les coefficients Θ I,J de Θ sont
des mesures complexes, et qu’ils sont major´ es ` a des constantes pr` es par la mesure
trace
σ Θ = Θ ∧
1
p!
β
p = 2
−p
Θ I,I ,
o` u β =
i
2
d
′ d
′′ |z|
2 =
i
2
1jn
dz j ∧ dz j ,
qui est une mesure positive.
Indication. Observer que
Θ I,I est invariant par des changements de coordonn´ ees
unitaires et que les (p, p)-formes iα 1 ∧α 1 ∧· · ·∧iα p ∧α p engendrent Λ
p,p T
⋆
C n comme
C-espace vectoriel.
On voit facilement qu’un courant Θ = i
1j,kn Θ jk dz j ∧ dz k de bidegr´ e
(1, 1) est positif si et seulement si la mesure complexe
λ j λ k Θ jk est une mesure
positive pour tout n-uplet (λ 1 , . . . , λ n ) ∈ C
n .