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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
11.5. Proposition. Si Φ : X → Y est une application holomorphe et v ∈ Psh(Y ),
alors v ◦ Φ ∈ Psh(X).
11.6. Exemple. Il est bien connu que log |z| est psh (i.e. sous-harmonique) sur
C. Donc log |f | ∈ Psh(X) pour toute fonction holomorphe f ∈ H
0 (X, O X ). Plus
g´ en´ eralement
log
|f 1 |
α 1 + · · · + |f q |
α q
∈ Psh(X)
pour tout choix de fonctions f j ∈ H
0 (X, O X ) et de r´ eels α j 0 (appliquer la propri´ et´ e 11.2 d avec u j = α j log |f j |). Nous nous int´ eresserons plus particuli` erement
aux singularit´ es de cette fonction le long de la vari´ et´ e des z´ eros f 1 = · · · = f q = 0,
lorsque les α j sont des nombres rationnels.
11.7. D´ efinition. On dira qu’une fonction psh u ∈ Psh(X) a des singularit´ es
analytiques (resp. alg´ ebriques) si u peut s’´ ecrire localement sous la forme
u =
α
2
log
|f 1 |
2 + · · · + |f N |
2
+ v,
avec des fonctions holomorphes (resp. alg´ ebriques) f j , α ∈ R + (resp. α ∈ Q + ), et
o` u v est une fonction born´ ee.
Nous introduisons alors l’id´ eal J = J(u/α) des germes de fonctions holomorphes h telles qu’il existe une constante C 0 pour laquelle |h| Ce
u/α , i.e.
|h| C
|f 1 | + · · · + |f N |
.
On obtient ainsi un faisceau d’id´ eaux globalement d´ efini sur X, ´ egal localement ` a
la clˆ oture int´ egrale I du faisceau d’id´ eaux I = (f 1 , . . . , f N ), par suite J est coh´ erent
sur X. Si (g 1 , . . . , g N ′ ) sont des g´ en´ erateurs locaux de J, nous avons encore
u =
α
2
log
|g 1 |
2 + · · · + |g N ′ |
2
+ O(1).
D’un point de vue alg´ ebrique, les singularit´ es de u sont en correspondance bijective
avec les “donn´ ees alg´ ebriques” (J, α). Nous verrons plus loin une autre m´ ethode
encore plus importante pour associer un faisceau d’id´ eaux ` a une fonction psh.
11.B. Courants positifs
La th´ eorie des courants a ´ et´ e fond´ ee par G. De Rham [DR55]. Nous rappelons
ici seulement les d´ efinitions les plus fondamentales. Le lecteur pourra consulter
[Fed69] pour un expos´ e beaucoup plus complet de cette th´ eorie. Dans la situation
complexe, la notion sp´ ecifique importante de courant positif a ´ et´ e d´ egag´ ee et
´ etudi´ ee par P. Lelong [Lel57, 69].
Un courant de degr´ e q sur une vari´ et´ e diff´ erentiable M n’est rien d’autre
qu’une q-forme diff´ erentielle Θ ` a coefficients distributions. L’espace des courants
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
11.5. Proposition. Si Φ : X → Y est une application holomorphe et v ∈ Psh(Y ),
alors v ◦ Φ ∈ Psh(X).
11.6. Exemple. Il est bien connu que log |z| est psh (i.e. sous-harmonique) sur
C. Donc log |f | ∈ Psh(X) pour toute fonction holomorphe f ∈ H
0 (X, O X ). Plus
g´ en´ eralement
log
|f 1 |
α 1 + · · · + |f q |
α q
∈ Psh(X)
pour tout choix de fonctions f j ∈ H
0 (X, O X ) et de r´ eels α j 0 (appliquer la propri´ et´ e 11.2 d avec u j = α j log |f j |). Nous nous int´ eresserons plus particuli` erement
aux singularit´ es de cette fonction le long de la vari´ et´ e des z´ eros f 1 = · · · = f q = 0,
lorsque les α j sont des nombres rationnels.
11.7. D´ efinition. On dira qu’une fonction psh u ∈ Psh(X) a des singularit´ es
analytiques (resp. alg´ ebriques) si u peut s’´ ecrire localement sous la forme
u =
α
2
log
|f 1 |
2 + · · · + |f N |
2
+ v,
avec des fonctions holomorphes (resp. alg´ ebriques) f j , α ∈ R + (resp. α ∈ Q + ), et
o` u v est une fonction born´ ee.
Nous introduisons alors l’id´ eal J = J(u/α) des germes de fonctions holomorphes h telles qu’il existe une constante C 0 pour laquelle |h| Ce
u/α , i.e.
|h| C
|f 1 | + · · · + |f N |
.
On obtient ainsi un faisceau d’id´ eaux globalement d´ efini sur X, ´ egal localement ` a
la clˆ oture int´ egrale I du faisceau d’id´ eaux I = (f 1 , . . . , f N ), par suite J est coh´ erent
sur X. Si (g 1 , . . . , g N ′ ) sont des g´ en´ erateurs locaux de J, nous avons encore
u =
α
2
log
|g 1 |
2 + · · · + |g N ′ |
2
+ O(1).
D’un point de vue alg´ ebrique, les singularit´ es de u sont en correspondance bijective
avec les “donn´ ees alg´ ebriques” (J, α). Nous verrons plus loin une autre m´ ethode
encore plus importante pour associer un faisceau d’id´ eaux ` a une fonction psh.
11.B. Courants positifs
La th´ eorie des courants a ´ et´ e fond´ ee par G. De Rham [DR55]. Nous rappelons
ici seulement les d´ efinitions les plus fondamentales. Le lecteur pourra consulter
[Fed69] pour un expos´ e beaucoup plus complet de cette th´ eorie. Dans la situation
complexe, la notion sp´ ecifique importante de courant positif a ´ et´ e d´ egag´ ee et
´ etudi´ ee par P. Lelong [Lel57, 69].
Un courant de degr´ e q sur une vari´ et´ e diff´ erentiable M n’est rien d’autre
qu’une q-forme diff´ erentielle Θ ` a coefficients distributions. L’espace des courants