11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e
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c) Soit u ∈ Psh(Ω) telle que u ≡ −∞ sur toute composante connexe de Ω. Si (ρ ε )
est une famille de noyaux r´ egularisants, alors u ⋆ ρ ε est C
∞ et psh sur
Ω ε =
x ∈ Ω ; d(x, ∁Ω) > ε
,
la famille (u ⋆ ρ ε ) est croissante en ε et lim ε→0 u ⋆ ρ ε = u.
d) Soient u 1 , . . . , u p ∈ Psh(Ω) et χ : R
p → R une fonction convexe telle que
χ(t 1 , . . . , t p ) est croissante en chaque variable t j . Alors χ(u 1 , . . . , u p ) est psh
sur Ω. En particulier u 1 + · · · + u p , max{u 1 , . . . , u p }, log(e
u 1 + · · · + e
u p ) sont
psh sur Ω.
11.3. Lemme. Une fonction u ∈ C
2 (Ω, R) est psh sur Ω si et seulement si la
forme hermitienne Hu(a)(ξ) =
1j,kn
∂
2 u/∂z j ∂z k (a) ξ j ξ k est semi-positive en
tout point a ∈ Ω.
Preuve. C’est une cons´ equence facile de la formule standard suivante
1
2π
2π
0
u(a + e
i Θ ξ) dθ − u(a) =
2
π
1
0
dt
t
|ζ|
o` u dλ est la mesure de Lebesgue sur C. Le lemme 11.3 sugg` ere fortement que la
plurisousharmonicit´ e est l’analogue complexe naturel de la propri´ et´ e de convexit´ e
lin´ eaire dans le cas r´ eel.
Pour des fonctions non r´ eguli` eres, on obtient une caract´ erisation analogue de
la plurisousharmonicit´ e au moyen d’un proc´ ed´ e de r´ egularisation.
11.4. Th´ eor` eme. Si u ∈ Psh(Ω) avec u ≡ −∞ sur toute composante connexe de
Ω, alors pour tout ξ ∈ C
n
Hu(ξ) =
1j,kn
∂
2 u
∂z j ∂z k
ξ j ξ k ∈ D
′ (Ω)
est une mesure positive. Inversement, si v ∈ D
′ (Ω) est telle que Hv(ξ) est une
mesure positive pour tout ξ ∈ C
n , il existe une unique fonction u ∈ Psh(Ω) qui
soit localement int´ egrable sur Ω et telle que v est la distribution associ´ ee ` a u.
En vue de d´ egager une meilleure compr´ ehension g´ eom´ etrique de la notion
de plurisousharmonicit´ e, nous supposons plus g´ en´ eralement que la fonction u vit
sur une vari´ et´ e complexe X de dimension n. Si Φ : X → Y est une application
holomorphe et si v ∈ C
2 (Y, R), nous avons d
′ d
′′ (v ◦ Φ) = Φ
⋆ d
′ d
′′ v, donc
H(v ◦ Φ)(a, ξ) = Hv
Φ(a), Φ
′ (a).ξ
.
En particulier Hu, vue comme forme hermitienne sur T X , ne d´ epend pas du choix
des coordonn´ ees (z 1 , . . . , z n ). Par cons´ equent, la notion de fonction psh a bien un
sens sur toute vari´ et´ e complexe. Plus g´ en´ eralement, nous avons
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c) Soit u ∈ Psh(Ω) telle que u ≡ −∞ sur toute composante connexe de Ω. Si (ρ ε )
est une famille de noyaux r´ egularisants, alors u ⋆ ρ ε est C
∞ et psh sur
Ω ε =
x ∈ Ω ; d(x, ∁Ω) > ε
,
la famille (u ⋆ ρ ε ) est croissante en ε et lim ε→0 u ⋆ ρ ε = u.
d) Soient u 1 , . . . , u p ∈ Psh(Ω) et χ : R
p → R une fonction convexe telle que
χ(t 1 , . . . , t p ) est croissante en chaque variable t j . Alors χ(u 1 , . . . , u p ) est psh
sur Ω. En particulier u 1 + · · · + u p , max{u 1 , . . . , u p }, log(e
u 1 + · · · + e
u p ) sont
psh sur Ω.
11.3. Lemme. Une fonction u ∈ C
2 (Ω, R) est psh sur Ω si et seulement si la
forme hermitienne Hu(a)(ξ) =
1j,kn
∂
2 u/∂z j ∂z k (a) ξ j ξ k est semi-positive en
tout point a ∈ Ω.
Preuve. C’est une cons´ equence facile de la formule standard suivante
1
2π
2π
0
u(a + e
i Θ ξ) dθ − u(a) =
2
π
1
0
dt
t
|ζ|
o` u dλ est la mesure de Lebesgue sur C. Le lemme 11.3 sugg` ere fortement que la
plurisousharmonicit´ e est l’analogue complexe naturel de la propri´ et´ e de convexit´ e
lin´ eaire dans le cas r´ eel.
Pour des fonctions non r´ eguli` eres, on obtient une caract´ erisation analogue de
la plurisousharmonicit´ e au moyen d’un proc´ ed´ e de r´ egularisation.
11.4. Th´ eor` eme. Si u ∈ Psh(Ω) avec u ≡ −∞ sur toute composante connexe de
Ω, alors pour tout ξ ∈ C
n
Hu(ξ) =
1j,kn
∂
2 u
∂z j ∂z k
ξ j ξ k ∈ D
′ (Ω)
est une mesure positive. Inversement, si v ∈ D
′ (Ω) est telle que Hv(ξ) est une
mesure positive pour tout ξ ∈ C
n , il existe une unique fonction u ∈ Psh(Ω) qui
soit localement int´ egrable sur Ω et telle que v est la distribution associ´ ee ` a u.
En vue de d´ egager une meilleure compr´ ehension g´ eom´ etrique de la notion
de plurisousharmonicit´ e, nous supposons plus g´ en´ eralement que la fonction u vit
sur une vari´ et´ e complexe X de dimension n. Si Φ : X → Y est une application
holomorphe et si v ∈ C
2 (Y, R), nous avons d
′ d
′′ (v ◦ Φ) = Φ
⋆ d
′ d
′′ v, donc
H(v ◦ Φ)(a, ξ) = Hv
Φ(a), Φ
′ (a).ξ
.
En particulier Hu, vue comme forme hermitienne sur T X , ne d´ epend pas du choix
des coordonn´ ees (z 1 , . . . , z n ). Par cons´ equent, la notion de fonction psh a bien un
sens sur toute vari´ et´ e complexe. Plus g´ en´ eralement, nous avons