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J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Partie II :
Estimations L
2
et th´ eor` emes d’annulation
11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e
Les ´ enonc´ es et d´ emonstrations des th´ eor` emes d’annulation mettent en jeu
plusieurs notions de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e. Nous pr´ esentons d’abord
un r´ esum´ e synth´ etique des concepts de base qui nous seront n´ ecessaires.
11.A. Fonctions plurisousharmoniques
Les fonctions plurisousharmoniques ont ´ et´ e introduites ind´ ependamment par
Lelong et Oka en 1942 en vue de l’´ etude de la convexit´ e holomorphe. Nous
renvoyons ` a [Lel67, 69] pour plus de d´ etails.
11.1. D´ efinition. Une fonction u : Ω → [−∞, +∞[ d´ efinie sur un ouvert Ω ⊂ C
n
est dite plurisousharmonique (psh en abr´ eg´ e) si
a) u est semi-continue sup´ erieurement ;
b) pour toute droite complexe L ⊂ C
n , u ↾Ω∩L est sous-harmonique sur Ω ∩ L,
c’est-` a-dire, pour tous a ∈ Ω et ξ ∈ C
n tels que |ξ| < d(a, ∁Ω), la fonction u
satisfait l’in´ egalit´ e de moyenne
u(a)
1
2π
2π
0
u(a + e
i Θ ξ) dθ.
L’ensemble des fonctions psh sur Ω sera not´ e Psh(Ω).
Nous donnons ci-dessous une liste de quelques propri´ et´ es fondamentales satisfaites par les fonctions psh. Ces propri´ et´ es d´ ecoulent toutes facilement de la
d´ efinition.
11.2. Propri´ et´ es fondamentales.
a) Toute fonction u ∈ Psh(Ω) est sous-harmonique en ses 2n variables r´ eelles, i.e.
satisfait l’in´ egalit´ e de valeur moyenne sur les boules (ou sph` eres) euclidiennes :
u(a)
1
π n r 2n /n!
B(a,r)
u(z) dλ(z)
pour tout a ∈ Ω et tout r < d(a, ∁Ω. Dans ce cas, on a ou bien u ≡ −∞ ou
bien u ∈ L
1
loc sur tout composante connexe de Ω.
b) Pour toute suite d´ ecroissante de fonctions psh u k ∈ Psh(Ω), la limite u = lim u k
est psh sur Ω.
J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L 2 et th´ eor` emes d’Annulation
Partie II :
Estimations L
2
et th´ eor` emes d’annulation
11. Concepts de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e
Les ´ enonc´ es et d´ emonstrations des th´ eor` emes d’annulation mettent en jeu
plusieurs notions de pseudoconvexit´ e et de positivit´ e. Nous pr´ esentons d’abord
un r´ esum´ e synth´ etique des concepts de base qui nous seront n´ ecessaires.
11.A. Fonctions plurisousharmoniques
Les fonctions plurisousharmoniques ont ´ et´ e introduites ind´ ependamment par
Lelong et Oka en 1942 en vue de l’´ etude de la convexit´ e holomorphe. Nous
renvoyons ` a [Lel67, 69] pour plus de d´ etails.
11.1. D´ efinition. Une fonction u : Ω → [−∞, +∞[ d´ efinie sur un ouvert Ω ⊂ C
n
est dite plurisousharmonique (psh en abr´ eg´ e) si
a) u est semi-continue sup´ erieurement ;
b) pour toute droite complexe L ⊂ C
n , u ↾Ω∩L est sous-harmonique sur Ω ∩ L,
c’est-` a-dire, pour tous a ∈ Ω et ξ ∈ C
n tels que |ξ| < d(a, ∁Ω), la fonction u
satisfait l’in´ egalit´ e de moyenne
u(a)
1
2π
2π
0
u(a + e
i Θ ξ) dθ.
L’ensemble des fonctions psh sur Ω sera not´ e Psh(Ω).
Nous donnons ci-dessous une liste de quelques propri´ et´ es fondamentales satisfaites par les fonctions psh. Ces propri´ et´ es d´ ecoulent toutes facilement de la
d´ efinition.
11.2. Propri´ et´ es fondamentales.
a) Toute fonction u ∈ Psh(Ω) est sous-harmonique en ses 2n variables r´ eelles, i.e.
satisfait l’in´ egalit´ e de valeur moyenne sur les boules (ou sph` eres) euclidiennes :
u(a)
1
π n r 2n /n!
B(a,r)
u(z) dλ(z)
pour tout a ∈ Ω et tout r < d(a, ∁Ω. Dans ce cas, on a ou bien u ≡ −∞ ou
bien u ∈ L
1
loc sur tout composante connexe de Ω.
b) Pour toute suite d´ ecroissante de fonctions psh u k ∈ Psh(Ω), la limite u = lim u k
est psh sur Ω.