10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e
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On voit qu’en g´ en´ eral H
p,q (X t , C) = F
p H
k (X t , C) ∩ F q H k (X t , C) n’a aucune
raison d’ˆ etre un sous-fibr´ e holomorphe de H
k (X t , C) pour p + q = k quelconques,
bien que H
p,q (X t , C) poss` ede une structure naturelle de fibr´ e holomorphe (obtenue
` a partir du faisceau coh´ erent R
q σ ⋆ Ω
p
X/S , ou comme quotient des F
p H
k (X t , C)).
Autrement dit, c’est la d´ ecomposition de Hodge qui n’est pas holomorphe.
10.10. Exemple. Soit S = {τ ∈ C ; Im τ > 0} le demi-plan sup´ erieur, et
X → S la famille “universelle” des courbes elliptiques au-dessus de S, d´ efinie
par X τ = C/(Z + Zτ ). Les deux ´ el´ ements de base du fibr´ e de Hodge H
1 (X τ , C),
duaux de la base (1, τ ) du r´ eseau des p´ eriodes, sont α = dx − Re τ / Im τ dy et
β = (Im τ )
−1 dy (z = x + iy ∈ C d´ esignant la coordonn´ ee sur X τ ). Ces ´ el´ ements
v´ erifient donc Dα = Dβ = 0 et d´ efinissent la structure holomorphe du fibr´ e
de Hodge ; le sous-fibr´ e H
1,0 (X τ , C) engendr´ e par la 1-forme dz = α + τ β est
bien holomorphe (comme il se doit !), cependant on voit que les composantes
β
1,0 = −
i
2
(Im τ )
−1 dz et β
0,1 =
i
2
(Im τ )
−1 dz ne sont pas holomorphes en τ .