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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
(10.7) c’est en fait une propri´ et´ e ouverte pour la topologie de Zariski analytique
sur S). Si U ⊂ S est un ouvert contractile, alors σ
−1 (U ) ≃ X t × U pour toute
fibre au dessus de t ∈ U . Si Z X , C X d´ esignent les faisceaux localement constants
de base X et de fibres Z, C, on obtient
Γ(U, R
k σ ⋆ Z X ) = H
k (σ
−1 (U ), Z) = H
k (X t , Z),
Γ(U, R
k σ ⋆ C X ) = H
k (σ
−1 (U ), C) = H
k (X t , C),
de sorte que R
k σ ⋆ Z X et R
k σ ⋆ C X sont des faisceaux localement constants sur S,
de fibres H
k (X t , Z) et H
k (X t , C). Le fibr´ e t → H
k (X t , C), muni de sa connexion
plate D (connexion de Gauss-Manin), poss` ede une structure holomorphe canonique
induite par la composante D
0,1 de la connexion de Gauss-Manin. Le fibr´ e plat
k H
k (X t , C) est appel´ e fibr´ e de Hodge de la fibration X → S.
Consid´ erons maintenant le complexe de De Rham relatif (Ω
•
X/S , d X/S ) de la
fibration X → S. Ce complexe fournit une r´ esolution du faisceau σ
−1 O S (image
inverse “purement faisceautique” de O S ), par suite
(10.8)
R
k σ ⋆ Ω
•
X/S = R
k σ ⋆ (σ
−1 O S ) = (R
k σ ⋆ C X ) ⊗ C O S .
La derni` ere ´ egalit´ e s’obtient par un argument imm´ ediat de O S (U ) lin´ earit´ e
pour la cohomologie calcul´ ee sur les ouverts σ
−1 (U ) (la structure complexe de
σ
−1 (U ) n’intervenant pas ici). En d’autres termes, R
k σ ⋆ Ω
•
X/S est le O S -module
localement libre associ´ e au fibr´ e plat t → H
q (X t , C). On a une suite spectrale
d’hypercohomologie relative
E
p,q
1 = R
q σ ⋆ Ω
p
X/S ⇒ G
p R
p+q σ ⋆ Ω
•
X/S = G
p R
p+q σ ⋆ C X
(la suite spectrale relative est obtenue simplement en “faisceautisant” la suite
spectrale d’hypercohomologie absolue (9.19) du complexe Ω
•
X/S sur les ouverts
σ
−1 (U )). Comme la cohomologie de Ω
p
X/S sur les fibres X t n’est autre que l’espace
de rang constant H
q (X t , Ω
p
X t
), le th. 10.6 d) montre que les faisceaux images
directes R
q σ ⋆ Ω
p
X/S sont localement libres. Par ailleurs, la filtration F
p H
k (X t , C) ⊂
H
k (X t , C) est obtenue au niveau des O S -modules localement libres associ´ es en
prenant l’image du morphisme O S -lin´ eaire
R
k σ ⋆ F
p Ω
•
X/S −→ R
k σ ⋆ Ω
•
X/S ,
c’est donc un sous-faisceau coh´ erent (et mˆ eme un sous-faisceau localement libre,
d’apr` es la propri´ et´ e de constance du rang sur les fibres X t ). De l` a et de (10.8) on
d´ eduit le
10.9. Th´ eor` eme (holomorphie de la filtration de Hodge). La filtration
de Hodge F
p H
k (X t , C) ⊂ H
k (X t , C) est constitu´ ee de sous-fibr´ es vectoriels
holomorphes relativement ` a la structure holomorphe d´ efinie par la connexion de
Gauss-Manin.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
(10.7) c’est en fait une propri´ et´ e ouverte pour la topologie de Zariski analytique
sur S). Si U ⊂ S est un ouvert contractile, alors σ
−1 (U ) ≃ X t × U pour toute
fibre au dessus de t ∈ U . Si Z X , C X d´ esignent les faisceaux localement constants
de base X et de fibres Z, C, on obtient
Γ(U, R
k σ ⋆ Z X ) = H
k (σ
−1 (U ), Z) = H
k (X t , Z),
Γ(U, R
k σ ⋆ C X ) = H
k (σ
−1 (U ), C) = H
k (X t , C),
de sorte que R
k σ ⋆ Z X et R
k σ ⋆ C X sont des faisceaux localement constants sur S,
de fibres H
k (X t , Z) et H
k (X t , C). Le fibr´ e t → H
k (X t , C), muni de sa connexion
plate D (connexion de Gauss-Manin), poss` ede une structure holomorphe canonique
induite par la composante D
0,1 de la connexion de Gauss-Manin. Le fibr´ e plat
k H
k (X t , C) est appel´ e fibr´ e de Hodge de la fibration X → S.
Consid´ erons maintenant le complexe de De Rham relatif (Ω
•
X/S , d X/S ) de la
fibration X → S. Ce complexe fournit une r´ esolution du faisceau σ
−1 O S (image
inverse “purement faisceautique” de O S ), par suite
(10.8)
R
k σ ⋆ Ω
•
X/S = R
k σ ⋆ (σ
−1 O S ) = (R
k σ ⋆ C X ) ⊗ C O S .
La derni` ere ´ egalit´ e s’obtient par un argument imm´ ediat de O S (U ) lin´ earit´ e
pour la cohomologie calcul´ ee sur les ouverts σ
−1 (U ) (la structure complexe de
σ
−1 (U ) n’intervenant pas ici). En d’autres termes, R
k σ ⋆ Ω
•
X/S est le O S -module
localement libre associ´ e au fibr´ e plat t → H
q (X t , C). On a une suite spectrale
d’hypercohomologie relative
E
p,q
1 = R
q σ ⋆ Ω
p
X/S ⇒ G
p R
p+q σ ⋆ Ω
•
X/S = G
p R
p+q σ ⋆ C X
(la suite spectrale relative est obtenue simplement en “faisceautisant” la suite
spectrale d’hypercohomologie absolue (9.19) du complexe Ω
•
X/S sur les ouverts
σ
−1 (U )). Comme la cohomologie de Ω
p
X/S sur les fibres X t n’est autre que l’espace
de rang constant H
q (X t , Ω
p
X t
), le th. 10.6 d) montre que les faisceaux images
directes R
q σ ⋆ Ω
p
X/S sont localement libres. Par ailleurs, la filtration F
p H
k (X t , C) ⊂
H
k (X t , C) est obtenue au niveau des O S -modules localement libres associ´ es en
prenant l’image du morphisme O S -lin´ eaire
R
k σ ⋆ F
p Ω
•
X/S −→ R
k σ ⋆ Ω
•
X/S ,
c’est donc un sous-faisceau coh´ erent (et mˆ eme un sous-faisceau localement libre,
d’apr` es la propri´ et´ e de constance du rang sur les fibres X t ). De l` a et de (10.8) on
d´ eduit le
10.9. Th´ eor` eme (holomorphie de la filtration de Hodge). La filtration
de Hodge F
p H
k (X t , C) ⊂ H
k (X t , C) est constitu´ ee de sous-fibr´ es vectoriels
holomorphes relativement ` a la structure holomorphe d´ efinie par la connexion de
Gauss-Manin.