10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e
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ouvert U de Y . Plus g´ en´ eralement, ´ etant donn´ e un complexe de faisceaux A
• ,
nous avons des faisceaux images directes R
q f ⋆ A
• , obtenus ` a partir des pr´ efaisceaux
d’hypercohomologie
U → H
k (f
−1 (U ), A
• ).
La d´ emonstration du th´ eor` eme des images directes propos´ ee par [FoK71] et
[KiV71] (voir aussi [DoV72]) fournit les r´ esultats fondamentaux suivants que nous
admettrons.
10.6. Th´ eor` eme des images directes. Soit σ : X → S un morphisme propre
d’espaces analytiques complexes et A
• un complexe born´ e de faisceaux coh´ erents
de O X -modules. Alors
a) Les faisceaux images directes R
k σ ⋆ A
⋆ sont des faisceaux coh´ erents sur S.
b) Tout point de S admet un voisinage U ⊂ S sur lequel il existe un complexe
born´ e W
• de faisceaux de O S -modules localement libres dont les faisceaux de
cohomologie H
k (W
• ) sont isomorphes aux faisceaux R
k σ ⋆ A
• .
c) Si σ est ` a fibres ´ equidimensionnelles (“morphisme g´ eom´ etriquement plat”),
l’hypercohomologie de la fibre X t = σ
−1 (t) ` a valeurs dans A
•
t = A
• ⊗ O X O X t
(o` u O X t = O X /σ
⋆ m S,t ), est donn´ ee par
H
k (X t , A
•
t ) = H
k (W
•
t ),
o` u (W
•
t ) est le complexe d’espaces de dimension finie W
k
t = W
k ⊗ O S,t O S,t /m S,t .
d) Sous l’hypoth` ese du c), si les espaces d’hypercohomologie H
k (X t , A
•
t ) des fibres
sont de dimension constante, les faisceaux R
k σ ⋆ A
• sont localement libres sur S.
Les mˆ emes r´ esultats sont vrais en particulier pour les images directes R
k σ ⋆ E d’un
faisceau coh´ erent E sur X, et les groupes de cohomologie H
k (X t , E t ) des fibres.
On notera que la propri´ et´ e d) est en fait une cons´ equence formelle de c),
car l’hypoth` ese garantit que les matrices holomorphes d´ efinissant les morphismes
W
k → W
k+1 sont de rang constant en chaque point t ∈ S. De (10.6 b) on d´ eduit
alors le r´ esultat suivant dˆ u ` a H. Flenner [Fle81], avec une d´ emonstration identique
` a celle du th. 10.4.
10.7. Th´ eor` eme de semi-continuit´ e. Si X → S est un morphisme analytique
propre ` a fibres ´ equidimensionnelles et si E est un faisceau coh´ erent sur X, les
sommes altern´ ees
h
q (t) − h
q−1 (t) + · · · + (−1)
q h
0 (t),
des dimensions h
k (t) = h
k (X t , E t ) sont des fonctions semi-continues sup´ erieurement de t dans la topologie de Zariski analytique (topologie dont les ferm´ es sont
les ensembles analytiques).
Soit σ : X → S une submersion C-analytique propre et lisse. On suppose que
la suite spectrale de Hodge des fibres X t d´ eg´ en` ere en E 1 pour tour t ∈ S (d’apr` es
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ouvert U de Y . Plus g´ en´ eralement, ´ etant donn´ e un complexe de faisceaux A
• ,
nous avons des faisceaux images directes R
q f ⋆ A
• , obtenus ` a partir des pr´ efaisceaux
d’hypercohomologie
U → H
k (f
−1 (U ), A
• ).
La d´ emonstration du th´ eor` eme des images directes propos´ ee par [FoK71] et
[KiV71] (voir aussi [DoV72]) fournit les r´ esultats fondamentaux suivants que nous
admettrons.
10.6. Th´ eor` eme des images directes. Soit σ : X → S un morphisme propre
d’espaces analytiques complexes et A
• un complexe born´ e de faisceaux coh´ erents
de O X -modules. Alors
a) Les faisceaux images directes R
k σ ⋆ A
⋆ sont des faisceaux coh´ erents sur S.
b) Tout point de S admet un voisinage U ⊂ S sur lequel il existe un complexe
born´ e W
• de faisceaux de O S -modules localement libres dont les faisceaux de
cohomologie H
k (W
• ) sont isomorphes aux faisceaux R
k σ ⋆ A
• .
c) Si σ est ` a fibres ´ equidimensionnelles (“morphisme g´ eom´ etriquement plat”),
l’hypercohomologie de la fibre X t = σ
−1 (t) ` a valeurs dans A
•
t = A
• ⊗ O X O X t
(o` u O X t = O X /σ
⋆ m S,t ), est donn´ ee par
H
k (X t , A
•
t ) = H
k (W
•
t ),
o` u (W
•
t ) est le complexe d’espaces de dimension finie W
k
t = W
k ⊗ O S,t O S,t /m S,t .
d) Sous l’hypoth` ese du c), si les espaces d’hypercohomologie H
k (X t , A
•
t ) des fibres
sont de dimension constante, les faisceaux R
k σ ⋆ A
• sont localement libres sur S.
Les mˆ emes r´ esultats sont vrais en particulier pour les images directes R
k σ ⋆ E d’un
faisceau coh´ erent E sur X, et les groupes de cohomologie H
k (X t , E t ) des fibres.
On notera que la propri´ et´ e d) est en fait une cons´ equence formelle de c),
car l’hypoth` ese garantit que les matrices holomorphes d´ efinissant les morphismes
W
k → W
k+1 sont de rang constant en chaque point t ∈ S. De (10.6 b) on d´ eduit
alors le r´ esultat suivant dˆ u ` a H. Flenner [Fle81], avec une d´ emonstration identique
` a celle du th. 10.4.
10.7. Th´ eor` eme de semi-continuit´ e. Si X → S est un morphisme analytique
propre ` a fibres ´ equidimensionnelles et si E est un faisceau coh´ erent sur X, les
sommes altern´ ees
h
q (t) − h
q−1 (t) + · · · + (−1)
q h
0 (t),
des dimensions h
k (t) = h
k (X t , E t ) sont des fonctions semi-continues sup´ erieurement de t dans la topologie de Zariski analytique (topologie dont les ferm´ es sont
les ensembles analytiques).
Soit σ : X → S une submersion C-analytique propre et lisse. On suppose que
la suite spectrale de Hodge des fibres X t d´ eg´ en` ere en E 1 pour tour t ∈ S (d’apr` es