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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
La cohomologie de ce sous-complexe co¨ ıncide avec H
q (X t , E t ) puisque la relation
d
′′
t d
′′⋆
t + d
′′⋆
t d
′′
t = ∆
′′
t montre que
1
λ k
d
′′⋆
t est un op´ erateur d’homotopie sur le souscomplexe form´ e des espaces propres de valeur propre λ k lorsque λ k = 0. Si Z
q
t
d´ esigne le noyau du morphisme d
′′q
t
: W
q
t → W
q+1
t
, alors z
q (t) := dim Z
q
t est
une fonction semi-continue sup´ erieurement pour la topologie de Zariski, comme
on le voit ais´ ement en regardant le rang des mineurs de la matrice d´ efinissant le
morphisme d
′′q : W
q → W
q+1 . Le complexe tronqu´ e
0 → W
0
t → W
1
t → · · · → W
q−1
t
→ Z
q
t → 0
ayant pour cohomologie les groupes H
j (X t , E t ) d’indices 0 j q, on obtient
h
q (t) − h
q−1 (t) + · · · + (−1)
q h
0 (t) = z
q (t) − w
q−1 + w
q−2 + · · · + (−1)
q w
0 ,
o` u w
q d´ esigne le rang de W
q . La semi-continuit´ e sup´ erieure du membre de gauche
en r´ esulte, et celle de h
q (t) est alors imm´ ediate par r´ ecurrence sur q.
10.5. Invariance des nombres de Hodge. Soit X → S un morphisme
C-analytique propre et lisse. On suppose que les fibres X t sont des vari´ et´ es
k¨ ahl´ eriennes. Alors les nombres de Hodge h
p,q (X t ) sont constants. De plus, dans
la d´ ecomposition
H
k (X t , C) =
p+q=k
H
p,q (X t , C),
les fibrations t → H
p,q (X t , C) d´ efinissent des sous-fibr´ es de classe C
∞ (en g´ en´ eral
non holomorphes) de t → H
k (X t , C).
Preuve. Le lemme 10.2 entraˆ ıne que les nombres de Betti b k = dim H
k (X t , C) sont
constants. Comme h
p,q (X t , C) = h
q (X t , Ω
p
X t
) est semi-continue sup´ erieurement
d’apr` es le th. 10.4 et
h
p,q (X t ) = b k −
r+s=k, (r,s) =(p,q)
h
r,s (X t ),
ces fonctions sont en fait aussi semi-continues inf´ erieurement. Par suite elles sont
continues et donc constantes. Un th´ eor` eme de Kodaira [Kod75] montre que si
une fibre X t 0 est k¨ ahl´ erienne, alors les fibres voisines X t sont k¨ ahl´ eriennes et les
m´ etriques k¨ ahl´ eriennes ω t peuvent ˆ etre choisies de sorte qu’elles d´ ependent de
mani` ere C
∞ de t. Les espaces de (p, q)-formes harmoniques d´ ependent alors de
mani` ere C
∞ de t d’apr` es le le th. 10.4, et on en d´ eduit que t → H
p,q (X t , C) est
un sous-fibr´ e de classe C
∞ de H
k (X t , C).
On peut en fait obtenir des r´ esultats plus pr´ ecis et plus g´ en´ eraux au moyen
du th´ eor` eme des images directes de Grauert [Gra60]. Rappelons qu’´ etant donn´ e
une application continue f : X → Y entre espaces topologiques et un faisceau
E de groupes ab´ eliens sur X, on d´ efinit le faisceau image directe R
k f ⋆ E sur Y
comme ´ etant le faisceau associ´ e au pr´ efaisceau U → H
k (f
−1 (U ), E), pour tout
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
La cohomologie de ce sous-complexe co¨ ıncide avec H
q (X t , E t ) puisque la relation
d
′′
t d
′′⋆
t + d
′′⋆
t d
′′
t = ∆
′′
t montre que
1
λ k
d
′′⋆
t est un op´ erateur d’homotopie sur le souscomplexe form´ e des espaces propres de valeur propre λ k lorsque λ k = 0. Si Z
q
t
d´ esigne le noyau du morphisme d
′′q
t
: W
q
t → W
q+1
t
, alors z
q (t) := dim Z
q
t est
une fonction semi-continue sup´ erieurement pour la topologie de Zariski, comme
on le voit ais´ ement en regardant le rang des mineurs de la matrice d´ efinissant le
morphisme d
′′q : W
q → W
q+1 . Le complexe tronqu´ e
0 → W
0
t → W
1
t → · · · → W
q−1
t
→ Z
q
t → 0
ayant pour cohomologie les groupes H
j (X t , E t ) d’indices 0 j q, on obtient
h
q (t) − h
q−1 (t) + · · · + (−1)
q h
0 (t) = z
q (t) − w
q−1 + w
q−2 + · · · + (−1)
q w
0 ,
o` u w
q d´ esigne le rang de W
q . La semi-continuit´ e sup´ erieure du membre de gauche
en r´ esulte, et celle de h
q (t) est alors imm´ ediate par r´ ecurrence sur q.
10.5. Invariance des nombres de Hodge. Soit X → S un morphisme
C-analytique propre et lisse. On suppose que les fibres X t sont des vari´ et´ es
k¨ ahl´ eriennes. Alors les nombres de Hodge h
p,q (X t ) sont constants. De plus, dans
la d´ ecomposition
H
k (X t , C) =
p+q=k
H
p,q (X t , C),
les fibrations t → H
p,q (X t , C) d´ efinissent des sous-fibr´ es de classe C
∞ (en g´ en´ eral
non holomorphes) de t → H
k (X t , C).
Preuve. Le lemme 10.2 entraˆ ıne que les nombres de Betti b k = dim H
k (X t , C) sont
constants. Comme h
p,q (X t , C) = h
q (X t , Ω
p
X t
) est semi-continue sup´ erieurement
d’apr` es le th. 10.4 et
h
p,q (X t ) = b k −
r+s=k, (r,s) =(p,q)
h
r,s (X t ),
ces fonctions sont en fait aussi semi-continues inf´ erieurement. Par suite elles sont
continues et donc constantes. Un th´ eor` eme de Kodaira [Kod75] montre que si
une fibre X t 0 est k¨ ahl´ erienne, alors les fibres voisines X t sont k¨ ahl´ eriennes et les
m´ etriques k¨ ahl´ eriennes ω t peuvent ˆ etre choisies de sorte qu’elles d´ ependent de
mani` ere C
∞ de t. Les espaces de (p, q)-formes harmoniques d´ ependent alors de
mani` ere C
∞ de t d’apr` es le le th. 10.4, et on en d´ eduit que t → H
p,q (X t , C) est
un sous-fibr´ e de classe C
∞ de H
k (X t , C).
On peut en fait obtenir des r´ esultats plus pr´ ecis et plus g´ en´ eraux au moyen
du th´ eor` eme des images directes de Grauert [Gra60]. Rappelons qu’´ etant donn´ e
une application continue f : X → Y entre espaces topologiques et un faisceau
E de groupes ab´ eliens sur X, on d´ efinit le faisceau image directe R
k f ⋆ E sur Y
comme ´ etant le faisceau associ´ e au pr´ efaisceau U → H
k (f
−1 (U ), E), pour tout