10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e
55
L
2 (X t , E t ) ≃ L
2 (X t 0 , E t 0 ). Si Γ(0, λ) d´ esigne le cercle de centre 0 et de rayon λ
dans le plan complexe, la formule de Cauchy donne
Π λ,t =
1
2πi
Γ(0,λ)
(z Id −P t )
−1 dz,
o` u l’int´ egrale est vue comme une int´ egrale ` a valeurs vectorielles dans l’espace des
op´ erateurs born´ es sur L
2 (M t 0 , E t 0 ) (il suffit de v´ erifier la formule sur les vecteurs
propres de P t , ce qui est ´ el´ ementaire). Les d´ emonstrations faites au § 3 montrent
qu’il existe une famille d’op´ erateurs pseudo-diff´ erentiels Q t d’ordre −δ, dont le
symbole d´ epend de mani` ere C
∞ de t (et avec uniformit´ e des estimations par
d´ erivation en t), tels que P t Q t = Id +R t pour des op´ erateurs r´ egularisants R t dont
le noyau d´ epend aussi de mani` ere C
∞ de t. Comme Q t est une famille d’op´ erateurs
compacts sur L
2 (X t , E t ) qui d´ epend de mani` ere C
∞ de t, les valeurs propres
de Q t d´ ependent continˆ ument de t. Quitte ` a changer Q t 0 sur un sous-espace de
dimension finie, on peut supposer que Q t 0 est un isomorphisme de L
2 (X t 0 , E t 0 )
sur W
δ (X t 0 , E t 0 ). Il en sera alors de mˆ eme pour Q t dans un voisinage de t 0 , et
par suite z Id −P t est inversible si et seulement si (z Id −P t )Q t = Id +R t + zQ t
est inversible. Si λ n’est pas dans le spectre de P t 0 , on voit donc que pour tout
z ∈ Γ(0, λ) l’inverse (z Id −P t )
−1 = Q t (Id +R t + zQ t )
−1 d´ epend de fa¸ con C
∞
de t comme op´ erateur L
2 (X t , E t ) → W
δ (X t , E t ), par suite t → Π λ,t est C
∞ au
voisinage de t. Ceci entraˆ ıne que t → W t,λ est une fibration localement triviale de
classe C
∞ au voisinage de t 0 . La continuit´ e de la valeur propre λ k (t) de P t r´ esulte
de la constance du rang de W λ,t au voisinage de t 0 , pour λ = λ k (t 0 ) ± ε.
10.4. Th´ eor` eme de semi-continuit´ e (Kodaira-Spencer). Si X → S est un morphisme C-analytique propre et lisse et si E est un faisceau localement libre sur X, les
dimensions h
q (t) = h
q (X t , E t ) sont des fonctions semi-continues sup´ erieurement.
Plus pr´ ecis´ ement, les sommes altern´ ees
h
q (t) − h
q−1 (t) + · · · + (−1)
q h
0 (t),
0 q n = dim X t
sont des fonctions semi-continues sup´ erieurement.
Preuve. Soit E t le fibr´ e vectoriel holomorphe associ´ e ` a E t . Munissons E et X
de m´ etriques hermitiennes arbitraires. D’apr` es l’isomorphisme de Hodge pour
la d
′′ -cohomologie, on peut interpr´ eter H
q (X t , E t ) comme l’espace des formes
harmoniques pour le Laplacien ∆
′′q
t agissant sur C
∞ (X t , Λ
0,q T
⋆
X t
⊗ E t ). Fixons
un point t 0 ∈ S et un r´ eel λ > 0 qui n’appartient pas au spectre des op´ erateurs
∆
′′q
t 0
, 0 q n = dim X t . Alors
W
q
t = W
q
λ,t = somme directe des espaces propres de ∆
′′q
t de valeurs propres λ
d´ efinit un fibr´ e W
q de classe C
∞ au voisinage de t 0 . De plus la diff´ erentielle d
′′
t commute avec ∆
′′
t et envoie donc les espaces propres de ∆
′′q
t dans les espaces propres de
∆
′′q+1
t
associ´ es aux mˆ emes valeurs propres. Ceci montre que (W
•
t , d
′′
t ) est un souscomplexe de dimension finie du complexe de Dolbeault
C
∞ (X t , Λ
0,q T
⋆
X t
⊗E t ), d
′′
t
.
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L
2 (X t , E t ) ≃ L
2 (X t 0 , E t 0 ). Si Γ(0, λ) d´ esigne le cercle de centre 0 et de rayon λ
dans le plan complexe, la formule de Cauchy donne
Π λ,t =
1
2πi
Γ(0,λ)
(z Id −P t )
−1 dz,
o` u l’int´ egrale est vue comme une int´ egrale ` a valeurs vectorielles dans l’espace des
op´ erateurs born´ es sur L
2 (M t 0 , E t 0 ) (il suffit de v´ erifier la formule sur les vecteurs
propres de P t , ce qui est ´ el´ ementaire). Les d´ emonstrations faites au § 3 montrent
qu’il existe une famille d’op´ erateurs pseudo-diff´ erentiels Q t d’ordre −δ, dont le
symbole d´ epend de mani` ere C
∞ de t (et avec uniformit´ e des estimations par
d´ erivation en t), tels que P t Q t = Id +R t pour des op´ erateurs r´ egularisants R t dont
le noyau d´ epend aussi de mani` ere C
∞ de t. Comme Q t est une famille d’op´ erateurs
compacts sur L
2 (X t , E t ) qui d´ epend de mani` ere C
∞ de t, les valeurs propres
de Q t d´ ependent continˆ ument de t. Quitte ` a changer Q t 0 sur un sous-espace de
dimension finie, on peut supposer que Q t 0 est un isomorphisme de L
2 (X t 0 , E t 0 )
sur W
δ (X t 0 , E t 0 ). Il en sera alors de mˆ eme pour Q t dans un voisinage de t 0 , et
par suite z Id −P t est inversible si et seulement si (z Id −P t )Q t = Id +R t + zQ t
est inversible. Si λ n’est pas dans le spectre de P t 0 , on voit donc que pour tout
z ∈ Γ(0, λ) l’inverse (z Id −P t )
−1 = Q t (Id +R t + zQ t )
−1 d´ epend de fa¸ con C
∞
de t comme op´ erateur L
2 (X t , E t ) → W
δ (X t , E t ), par suite t → Π λ,t est C
∞ au
voisinage de t. Ceci entraˆ ıne que t → W t,λ est une fibration localement triviale de
classe C
∞ au voisinage de t 0 . La continuit´ e de la valeur propre λ k (t) de P t r´ esulte
de la constance du rang de W λ,t au voisinage de t 0 , pour λ = λ k (t 0 ) ± ε.
10.4. Th´ eor` eme de semi-continuit´ e (Kodaira-Spencer). Si X → S est un morphisme C-analytique propre et lisse et si E est un faisceau localement libre sur X, les
dimensions h
q (t) = h
q (X t , E t ) sont des fonctions semi-continues sup´ erieurement.
Plus pr´ ecis´ ement, les sommes altern´ ees
h
q (t) − h
q−1 (t) + · · · + (−1)
q h
0 (t),
0 q n = dim X t
sont des fonctions semi-continues sup´ erieurement.
Preuve. Soit E t le fibr´ e vectoriel holomorphe associ´ e ` a E t . Munissons E et X
de m´ etriques hermitiennes arbitraires. D’apr` es l’isomorphisme de Hodge pour
la d
′′ -cohomologie, on peut interpr´ eter H
q (X t , E t ) comme l’espace des formes
harmoniques pour le Laplacien ∆
′′q
t agissant sur C
∞ (X t , Λ
0,q T
⋆
X t
⊗ E t ). Fixons
un point t 0 ∈ S et un r´ eel λ > 0 qui n’appartient pas au spectre des op´ erateurs
∆
′′q
t 0
, 0 q n = dim X t . Alors
W
q
t = W
q
λ,t = somme directe des espaces propres de ∆
′′q
t de valeurs propres λ
d´ efinit un fibr´ e W
q de classe C
∞ au voisinage de t 0 . De plus la diff´ erentielle d
′′
t commute avec ∆
′′
t et envoie donc les espaces propres de ∆
′′q
t dans les espaces propres de
∆
′′q+1
t
associ´ es aux mˆ emes valeurs propres. Ceci montre que (W
•
t , d
′′
t ) est un souscomplexe de dimension finie du complexe de Dolbeault
C
∞ (X t , Λ
0,q T
⋆
X t
⊗E t ), d
′′
t
.