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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Preuve. a) Soit H : S ×[0, 1] → S une homotopie diff´ erentiable entre H(•, 0) = Id S
et h(•, 1) = application constante S → {t 0 }. Le produit fibr´ e
X = {(x, s, t) ∈ X × S × [0, 1] ; σ(x) = H(s, t)}
muni de la projection
σ = pr 2 × pr 3 :
X → S × [0, 1] est encore une submersion
diff´ erentiable, comme on le v´ erifie ais´ ement. On en d´ eduit qu’il existe un champ de
vecteurs ξ sur
X qui rel` eve le champ de vecteurs
∂
∂t
sur S × [0, 1], i.e. σ ⋆ ξ =
∂
∂t
(il
existe localement des rel` evements par la propri´ et´ e de submersivit´ e, et on recolle ces
rel` evements au moyen d’une partition de l’unit´ e). Soit ϕ t le flot de ce rel` evement :
alors, si (x, s, 0) ∈
X ↾S×{0} ≃ X, on a par construction ϕ t (x, s, 0) = (?, s, t), donc
Φ = ϕ 1 d´ efinit un diff´ eomorphisme de
X ↾S×{0} ≃ X sur
X ↾S×{1} ≃ X t 0 × S,
commutant avec la projection sur S.
b) se d´ eduit imm´ ediatement de a).
Il r´ esulte de b) que le fibr´ e t → H
k (X t , C) est un fibr´ e localement trivial
en C-espaces vectoriels de dimension finie. On a par ailleurs dans chaque fibre
un sous-groupe ab´ elien libre Im H
k (X t , Z) ⊂ H
k (X t , C) de rang b k qui engendre
H
k (X t , C) comme C-espace vectoriel. Les matrices de transition de ce syst` eme
localement constant sont dans SL b k (Z). Comme les matrices de transition sont
localement constantes, le fibr´ e t → H
k (X t , C) peut ˆ etre muni d’une connexion D
telle que D
2 = 0 : cette connexion est appel´ ee connexion de Gauss-Manin. Le
lemme suivant nous sera utile.
10.3. Lemme. Soit σ : X → S une submersion diff´ erentiable propre et lisse et E un
fibr´ e vectoriel de classe C
∞ au dessus de X. Consid´ erons une famille d’op´ erateurs
elliptiques
P t : C
∞ (X t , E t ) −→ C
∞ (X t , E t )
de degr´ e δ. On suppose que P t est autoadjoint semipositif relativement ` a une
m´ etrique h t sur E t et ` a une forme volume dV t sur X t , et tel que les coefficients de
P t , h t et dV t sont de classe C
∞ sur X. Alors les valeurs propres de P t , compt´ ees
avec multiplicit´ e, se rangent en une suite
λ 0 (t) λ 1 (t) · · · λ k (t) → +∞,
o` u la k-i` eme valeur propre λ k (t) est une fonction continue de t. De plus, si λ
n’est pas dans le spectre {λ k (t 0 )} k∈N de P t 0 , la somme directe W λ,t ⊂ C
∞ (X t , E t )
des espaces propres de P t de valeurs propres λ k (t) λ d´ efinit un fibr´ e vectoriel
t → W t,λ de classe C
∞ dans un voisinage de t 0 .
Preuve. Comme les r´ esultats sont locaux au dessus de S, on peut supposer
que X = X t 0 × S et E = pr
⋆
1 E t 0 ont leurs fibres X t et E t ind´ ependantes
de t (mais les formes dV t sur X t et les m´ etriques h t sur E t vont en g´ en´ eral
d´ ependre de t). Soit Π λ,t l’op´ erateur de projection orthogonale sur W λ,t dans
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Preuve. a) Soit H : S ×[0, 1] → S une homotopie diff´ erentiable entre H(•, 0) = Id S
et h(•, 1) = application constante S → {t 0 }. Le produit fibr´ e
X = {(x, s, t) ∈ X × S × [0, 1] ; σ(x) = H(s, t)}
muni de la projection
σ = pr 2 × pr 3 :
X → S × [0, 1] est encore une submersion
diff´ erentiable, comme on le v´ erifie ais´ ement. On en d´ eduit qu’il existe un champ de
vecteurs ξ sur
X qui rel` eve le champ de vecteurs
∂
∂t
sur S × [0, 1], i.e. σ ⋆ ξ =
∂
∂t
(il
existe localement des rel` evements par la propri´ et´ e de submersivit´ e, et on recolle ces
rel` evements au moyen d’une partition de l’unit´ e). Soit ϕ t le flot de ce rel` evement :
alors, si (x, s, 0) ∈
X ↾S×{0} ≃ X, on a par construction ϕ t (x, s, 0) = (?, s, t), donc
Φ = ϕ 1 d´ efinit un diff´ eomorphisme de
X ↾S×{0} ≃ X sur
X ↾S×{1} ≃ X t 0 × S,
commutant avec la projection sur S.
b) se d´ eduit imm´ ediatement de a).
Il r´ esulte de b) que le fibr´ e t → H
k (X t , C) est un fibr´ e localement trivial
en C-espaces vectoriels de dimension finie. On a par ailleurs dans chaque fibre
un sous-groupe ab´ elien libre Im H
k (X t , Z) ⊂ H
k (X t , C) de rang b k qui engendre
H
k (X t , C) comme C-espace vectoriel. Les matrices de transition de ce syst` eme
localement constant sont dans SL b k (Z). Comme les matrices de transition sont
localement constantes, le fibr´ e t → H
k (X t , C) peut ˆ etre muni d’une connexion D
telle que D
2 = 0 : cette connexion est appel´ ee connexion de Gauss-Manin. Le
lemme suivant nous sera utile.
10.3. Lemme. Soit σ : X → S une submersion diff´ erentiable propre et lisse et E un
fibr´ e vectoriel de classe C
∞ au dessus de X. Consid´ erons une famille d’op´ erateurs
elliptiques
P t : C
∞ (X t , E t ) −→ C
∞ (X t , E t )
de degr´ e δ. On suppose que P t est autoadjoint semipositif relativement ` a une
m´ etrique h t sur E t et ` a une forme volume dV t sur X t , et tel que les coefficients de
P t , h t et dV t sont de classe C
∞ sur X. Alors les valeurs propres de P t , compt´ ees
avec multiplicit´ e, se rangent en une suite
λ 0 (t) λ 1 (t) · · · λ k (t) → +∞,
o` u la k-i` eme valeur propre λ k (t) est une fonction continue de t. De plus, si λ
n’est pas dans le spectre {λ k (t 0 )} k∈N de P t 0 , la somme directe W λ,t ⊂ C
∞ (X t , E t )
des espaces propres de P t de valeurs propres λ k (t) λ d´ efinit un fibr´ e vectoriel
t → W t,λ de classe C
∞ dans un voisinage de t 0 .
Preuve. Comme les r´ esultats sont locaux au dessus de S, on peut supposer
que X = X t 0 × S et E = pr
⋆
1 E t 0 ont leurs fibres X t et E t ind´ ependantes
de t (mais les formes dV t sur X t et les m´ etriques h t sur E t vont en g´ en´ eral
d´ ependre de t). Soit Π λ,t l’op´ erateur de projection orthogonale sur W λ,t dans