10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e
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10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e
L’objet de ce paragraphe est d’´ etudier la d´ ependance des groupes H
p,q (X t , C)
ou plus g´ en´ eralement des groupes de cohomologie H
q (X t , E t ), lorsque la paire
(X t , E t ) d´ epend holomorphiquement d’un param` etre t dans un certain espace
complexe S. Nous aborderons ces r´ esultats en adoptant le point de vue original de
Kodaira-Spencer, tel qu’il est d´ evelopp´ e dans leurs travaux originaux sur la th´ eorie
des d´ eformations (voir par exemple les Oeuvres Compl` etes de Kodaira [Kod75]).
La m´ ethode de Kodaira-Spencer exploite les propri´ et´ es de continuit´ e ou de semicontinuit´ e des espaces propres des Laplaciens en fonction du param` etre t. Une
autre approche fournissant des r´ esultats plus pr´ ecis consiste ` a utiliser le th´ eor` eme
des images directes de Grauert [Gra60].
10.1. D´ efinition. Une d´ eformation de vari´ et´ es complexes compactes est par
d´ efinition un morphisme analytique propre σ : X → S d’espaces complexes
connexes, dont toutes les fibres X t = σ
−1 (t) sont des vari´ et´ es lisses de mˆ eme
dimension n, et satisfaisant l’hypoth` ese locale suivante :
Tout point ζ ∈ X admet un voisinage U tel qu’il existe un biholomorphisme ψ : U × V → U o` u U est un ouvert de C
n et V un voisinage
de t = σ(ζ), v´ erifiant σ ◦ ψ = pr 2 : U × V → V (seconde projection).
(H)
On dit alors que (X t ) t∈S est une famille holomorphe de d´ eformations de l’une
quelconque des fibres X t 0 , et que S est la base de la d´ eformation. Une famille
holomorphe de fibr´ es vectoriels (resp. de faisceaux) E t → X t est par d´ efinition une
famille de fibr´ es (resp. faisceaux) obtenus ` a partir d’un fibr´ e (resp. faisceau) global
E → X, par restriction aux diff´ erentes fibres X t .
Si S est lisse, l’hypoth` ese (H) ´ equivaut ` a supposer que σ est une submersion
holomorphe, en vertu du th´ eor` eme du rang constant. Il y a n´ eanmoins des
situations o` u l’on doit n´ ecessairement consid´ erer aussi le cas de bases S singuli` eres
(par exemple lorqu’on cherche ` a construire la “d´ eformation universelle” d’une
vari´ et´ e). Dans un cadre topologique (diff´ erentiable et lisse), nous avons le lemme
suivant, connu sous le nom de lemme d’Ehresmann.
10.2. Lemme d’Ehresmann. Soit σ : X → S une submersion diff´ erentiable
propre et lisse.
a) Si S est contractile, alors pour tout t 0 ∈ S, il existe un diagramme commutatif
X
Φ
−→ X t 0 × S
pr 1 ց ւ σ
S
o` u Φ est un diff´ eomorphisme.
b) Pour une base S quelconque, X → S est un fibr´ e (diff´ erentiablement) localement trivial. En particulier, si S est connexe, les fibres sont toutes
diff´ eomorphes.
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10. D´ eformations et th´ eor` emes de semi-continuit´ e
L’objet de ce paragraphe est d’´ etudier la d´ ependance des groupes H
p,q (X t , C)
ou plus g´ en´ eralement des groupes de cohomologie H
q (X t , E t ), lorsque la paire
(X t , E t ) d´ epend holomorphiquement d’un param` etre t dans un certain espace
complexe S. Nous aborderons ces r´ esultats en adoptant le point de vue original de
Kodaira-Spencer, tel qu’il est d´ evelopp´ e dans leurs travaux originaux sur la th´ eorie
des d´ eformations (voir par exemple les Oeuvres Compl` etes de Kodaira [Kod75]).
La m´ ethode de Kodaira-Spencer exploite les propri´ et´ es de continuit´ e ou de semicontinuit´ e des espaces propres des Laplaciens en fonction du param` etre t. Une
autre approche fournissant des r´ esultats plus pr´ ecis consiste ` a utiliser le th´ eor` eme
des images directes de Grauert [Gra60].
10.1. D´ efinition. Une d´ eformation de vari´ et´ es complexes compactes est par
d´ efinition un morphisme analytique propre σ : X → S d’espaces complexes
connexes, dont toutes les fibres X t = σ
−1 (t) sont des vari´ et´ es lisses de mˆ eme
dimension n, et satisfaisant l’hypoth` ese locale suivante :
Tout point ζ ∈ X admet un voisinage U tel qu’il existe un biholomorphisme ψ : U × V → U o` u U est un ouvert de C
n et V un voisinage
de t = σ(ζ), v´ erifiant σ ◦ ψ = pr 2 : U × V → V (seconde projection).
(H)
On dit alors que (X t ) t∈S est une famille holomorphe de d´ eformations de l’une
quelconque des fibres X t 0 , et que S est la base de la d´ eformation. Une famille
holomorphe de fibr´ es vectoriels (resp. de faisceaux) E t → X t est par d´ efinition une
famille de fibr´ es (resp. faisceaux) obtenus ` a partir d’un fibr´ e (resp. faisceau) global
E → X, par restriction aux diff´ erentes fibres X t .
Si S est lisse, l’hypoth` ese (H) ´ equivaut ` a supposer que σ est une submersion
holomorphe, en vertu du th´ eor` eme du rang constant. Il y a n´ eanmoins des
situations o` u l’on doit n´ ecessairement consid´ erer aussi le cas de bases S singuli` eres
(par exemple lorqu’on cherche ` a construire la “d´ eformation universelle” d’une
vari´ et´ e). Dans un cadre topologique (diff´ erentiable et lisse), nous avons le lemme
suivant, connu sous le nom de lemme d’Ehresmann.
10.2. Lemme d’Ehresmann. Soit σ : X → S une submersion diff´ erentiable
propre et lisse.
a) Si S est contractile, alors pour tout t 0 ∈ S, il existe un diagramme commutatif
X
Φ
−→ X t 0 × S
pr 1 ց ւ σ
S
o` u Φ est un diff´ eomorphisme.
b) Pour une base S quelconque, X → S est un fibr´ e (diff´ erentiablement) localement trivial. En particulier, si S est connexe, les fibres sont toutes
diff´ eomorphes.