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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
A
• une r´ esolution A
p → L
p,• par des faisceaux L
p,q acycliques, donnant lieu ` a
un complexe double de faisceaux (L
p,q , d
′ + d
′′ ). Alors le complexe total associ´ e
(L
• , d) est un complexe acyclique quasi-isomorphe ` a A
• , et on a donc
H
k (X, A
• ) = H
k (Γ(X, L
• )).
Mais par ailleurs, le complexe double K
p,q = Γ(X, L
p,q ) d´ efinit une suite spectrale
telle que
E
p,q
1 = H
q (K
p,• , d
′′ ) = H
q (X, A
p ),
convergeant vers le gradu´ e associ´ e ` a la cohomologie du complexe total H
k (K
• ) =
H
k (X, A
• ). On obtient donc une suite spectrale dite suite spectrale d’hypercohomologie
(9.19)
E
p,q
1 = H
q (X, A
p ) ⇒ G
p H
p+q (X, A
• ).
La filtration F
p des groupes d’hypercohomologie est obtenue par d´ efinition en
prenant l’image du morphisme
H
k (X, F
p A
• ) → H
k (X, A
• ),
o` u F
p A
• d´ esigne le complexe tronqu´ e ` a gauche
· · · −→ 0 −→ 0 −→ A
p −→ A
p+1 −→ · · · −→ A
N · · · .
Consid´ erons maintenant le cas o` u X est une vari´ et´ e complexe quelconque et o` u
A
• = Ω
•
X est le complexe de De Rham holomorphe (avec la diff´ erentielle ext´ erieure
usuelle). Le lemme de Poincar´ e holomorphe montre que Ω
•
X est une r´ esolution du
faisceau constant C X , i.e., on a un quasi-isomorphisme de complexes de faisceaux
C X → Ω
•
X , o` u C X d´ esigne le complexe r´ eduit ` a un seul terme en degr´ e 0. Par
d´ efinition de l’hypercohomologie on a donc
(9.20)
H
k (X, C X ) = H
k (X, Ω
•
X ),
et la suite exacte d’hypercohomologie du complexe Ω
•
X fournit une suite spectrale
(9.21)
E
p,q
1 = H
q (X, Ω
p
X ) ⇒ G
p H
p+q (X, C X ).
Or les groupes H
k (X, Ω
•
X ) peuvent ˆ etre calcul´ es en utilisant la r´ esolution de Ω
•
X par
le complexe de Dolbeault L
p,q = C
∞ (Λ
p,q T
⋆
X ) (ces faisceaux sont bien acycliques !).
On voit alors que la suite spectrale d’hypercohomologie (9.21) n’est autre que la
suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher pr´ ec´ edemment d´ efinie.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
A
• une r´ esolution A
p → L
p,• par des faisceaux L
p,q acycliques, donnant lieu ` a
un complexe double de faisceaux (L
p,q , d
′ + d
′′ ). Alors le complexe total associ´ e
(L
• , d) est un complexe acyclique quasi-isomorphe ` a A
• , et on a donc
H
k (X, A
• ) = H
k (Γ(X, L
• )).
Mais par ailleurs, le complexe double K
p,q = Γ(X, L
p,q ) d´ efinit une suite spectrale
telle que
E
p,q
1 = H
q (K
p,• , d
′′ ) = H
q (X, A
p ),
convergeant vers le gradu´ e associ´ e ` a la cohomologie du complexe total H
k (K
• ) =
H
k (X, A
• ). On obtient donc une suite spectrale dite suite spectrale d’hypercohomologie
(9.19)
E
p,q
1 = H
q (X, A
p ) ⇒ G
p H
p+q (X, A
• ).
La filtration F
p des groupes d’hypercohomologie est obtenue par d´ efinition en
prenant l’image du morphisme
H
k (X, F
p A
• ) → H
k (X, A
• ),
o` u F
p A
• d´ esigne le complexe tronqu´ e ` a gauche
· · · −→ 0 −→ 0 −→ A
p −→ A
p+1 −→ · · · −→ A
N · · · .
Consid´ erons maintenant le cas o` u X est une vari´ et´ e complexe quelconque et o` u
A
• = Ω
•
X est le complexe de De Rham holomorphe (avec la diff´ erentielle ext´ erieure
usuelle). Le lemme de Poincar´ e holomorphe montre que Ω
•
X est une r´ esolution du
faisceau constant C X , i.e., on a un quasi-isomorphisme de complexes de faisceaux
C X → Ω
•
X , o` u C X d´ esigne le complexe r´ eduit ` a un seul terme en degr´ e 0. Par
d´ efinition de l’hypercohomologie on a donc
(9.20)
H
k (X, C X ) = H
k (X, Ω
•
X ),
et la suite exacte d’hypercohomologie du complexe Ω
•
X fournit une suite spectrale
(9.21)
E
p,q
1 = H
q (X, Ω
p
X ) ⇒ G
p H
p+q (X, C X ).
Or les groupes H
k (X, Ω
•
X ) peuvent ˆ etre calcul´ es en utilisant la r´ esolution de Ω
•
X par
le complexe de Dolbeault L
p,q = C
∞ (Λ
p,q T
⋆
X ) (ces faisceaux sont bien acycliques !).
On voit alors que la suite spectrale d’hypercohomologie (9.21) n’est autre que la
suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher pr´ ec´ edemment d´ efinie.