9. Suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
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est ´ egale ` a la caract´ eristique d’Euler χ
H
• (C
• )
du module de cohomologie.
Preuve. Posons
c q = dim C
q , z q = dim Z
q (C
• ), b q = dim B
q (C
• ), h q = dim H
q (C
• ).
Alors
c q = z q + b q+1 ,
h q = z q − b q .
Par cons´ equent nous trouvons
(−1)
q c q =
(−1)
q z q −
(−1)
q b q =
(−1)
q h q .
En particulier, si le terme E
•
r de la suite spectrale du complexe filtr´ e K
• est
un complexe born´ e de dimension finie, on a
χ(E
•
r ) = χ(E
•
r+1 ) = · · · = χ(E
•
∞ ) = χ
H
• (K
• )
car E
•
r+1 = H
• (E
•
r ) et dim E
l
∞ = dim H
l (K
• ). Dans la suite spectrale de HodgeFr¨ olicher on a par ailleurs dim E
l
1 =
p+q=l h
p,q , donc :
9.18. Th´ eor` eme. Pour toute vari´ et´ e complexe compacte X, la caract´ eristique
d’Euler topologique peut s’´ ecrire
χ top (X) =
0k2n
(−1)
l b l =
0p,qn
(−1)
p+q h
p,q .
Nous allons maintenant r´ einterpr´ eter la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
en termes de la suite spectrale d’hypercohomologie associ´ ee au complexe de De
Rham holomorphe. Expliquons d’abord bri` evement en quoi consiste cette suite
spectrale. Etant donn´ e un complexe born´ e de faisceaux de groupes ab´ eliens A
•
sur un espace topologique X, les groupes d’hypercohomologie de A
• sont d´ efinis
comme les groupes
H
k (X, A
• ) := H
k (Γ(X, L
• )),
o` u L
• est un complexe de faisceaux acycliques (faisceaux flasques ou faisceaux
de C
∞ modules par exemple) choisi de sorte qu’on ait un quasi-isomorphisme
A
• → L
• (morphisme de complexes de faisceaux induisant un isomorphisme
H
k (A
• ) → H
k (L
• ) pour les faisceaux de cohomologie). Il est ais´ e de voir que
l’hypercohomologie ne d´ epend pas ` a isomorphisme pr` es du complexe de faisceaux
acycliques L
• choisi. L’hypercohomologie est un foncteur de la cat´ egorie des
complexes de faisceaux de groupes ab´ eliens vers la cat´ egorie des groupes gradu´ es ;
par d´ efinition, si A
• → B
• est un quasi-isomorphisme, alors H
k (X, A
• ) →
H
k (X, B
• ) est un isomorphisme ; de plus, l’hypercohomologie se r´ eduit ` a la
cohomologie usuelle H
k (X, E) du faisceau E pour un complexe A
• r´ eduit ` a un
seul terme A
0 = E. Supposons qu’on ait pour chaque terme A
p du complexe
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est ´ egale ` a la caract´ eristique d’Euler χ
H
• (C
• )
du module de cohomologie.
Preuve. Posons
c q = dim C
q , z q = dim Z
q (C
• ), b q = dim B
q (C
• ), h q = dim H
q (C
• ).
Alors
c q = z q + b q+1 ,
h q = z q − b q .
Par cons´ equent nous trouvons
(−1)
q c q =
(−1)
q z q −
(−1)
q b q =
(−1)
q h q .
En particulier, si le terme E
•
r de la suite spectrale du complexe filtr´ e K
• est
un complexe born´ e de dimension finie, on a
χ(E
•
r ) = χ(E
•
r+1 ) = · · · = χ(E
•
∞ ) = χ
H
• (K
• )
car E
•
r+1 = H
• (E
•
r ) et dim E
l
∞ = dim H
l (K
• ). Dans la suite spectrale de HodgeFr¨ olicher on a par ailleurs dim E
l
1 =
p+q=l h
p,q , donc :
9.18. Th´ eor` eme. Pour toute vari´ et´ e complexe compacte X, la caract´ eristique
d’Euler topologique peut s’´ ecrire
χ top (X) =
0k2n
(−1)
l b l =
0p,qn
(−1)
p+q h
p,q .
Nous allons maintenant r´ einterpr´ eter la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
en termes de la suite spectrale d’hypercohomologie associ´ ee au complexe de De
Rham holomorphe. Expliquons d’abord bri` evement en quoi consiste cette suite
spectrale. Etant donn´ e un complexe born´ e de faisceaux de groupes ab´ eliens A
•
sur un espace topologique X, les groupes d’hypercohomologie de A
• sont d´ efinis
comme les groupes
H
k (X, A
• ) := H
k (Γ(X, L
• )),
o` u L
• est un complexe de faisceaux acycliques (faisceaux flasques ou faisceaux
de C
∞ modules par exemple) choisi de sorte qu’on ait un quasi-isomorphisme
A
• → L
• (morphisme de complexes de faisceaux induisant un isomorphisme
H
k (A
• ) → H
k (L
• ) pour les faisceaux de cohomologie). Il est ais´ e de voir que
l’hypercohomologie ne d´ epend pas ` a isomorphisme pr` es du complexe de faisceaux
acycliques L
• choisi. L’hypercohomologie est un foncteur de la cat´ egorie des
complexes de faisceaux de groupes ab´ eliens vers la cat´ egorie des groupes gradu´ es ;
par d´ efinition, si A
• → B
• est un quasi-isomorphisme, alors H
k (X, A
• ) →
H
k (X, B
• ) est un isomorphisme ; de plus, l’hypercohomologie se r´ eduit ` a la
cohomologie usuelle H
k (X, E) du faisceau E pour un complexe A
• r´ eduit ` a un
seul terme A
0 = E. Supposons qu’on ait pour chaque terme A
p du complexe