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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
de la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher n’implique pas automatiquement la
propri´ et´ e de sym´ etrie de Hodge H
q,p (X, C) ≃ H p,q (X, C) ni l’existence d’une
d´ ecomposition canonique des groupes de De Rham. En fait, il n’est pas difficile de
montrer que la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher d’une surface complexe compacte
d´ eg´ en` ere toujours en E 1 ; cependant, si X n’est pas k¨ ahl´ erienne, alors b 1 est
impair, et on peut montrer en utilisant le th´ eor` eme de l’indice de Hirzebruch
que h
0,1 = h
1,0 + 1 et b 1 = 2h 1,0 + 1 (voir [BPV84]). On peut montrer que
l’existence d’une d´ ecomposition de Hodge (resp. de Hodge forte) est pr´ eserv´ ee
par des morphismes de contraction (remplacement de X par X
′ , si µ : X → X
′
est une modification) ; c’est une cons´ equence facile de l’existence d’un foncteur
image directe µ ⋆ agissant sur tous les groupes de cohomologie mis en jeu, tel que
µ ⋆ µ
⋆ = Id ; dans le contexte analytique, µ ⋆ se construit ais´ ement en calculant
la cohomologie ` a l’aide des courants, puisqu’on dispose sur ceux-ci d’un foncteur
image directe naturel. Comme toute vari´ et´ e de Moishezon admet une modification
alg´ ebrique projective, nous en d´ eduisons que les vari´ et´ es de Moishezon admettent
´ egalement une d´ ecomposition de Hodge forte. Il serait int´ eressant de savoir s’il
existe des exemples de vari´ et´ es complexes compactes poss´ edant une d´ ecomposition
de Hodge sans avoir une d´ ecomposition de Hodge forte (il y a en effet des exemples
imm´ ediats de complexes doubles abstraits ayant cette propri´ et´ e).
En g´ en´ eral, quand X n’est pas k¨ ahl´ erienne, un certain nombre d’informations
int´ eressantes peuvent se d´ eduire de la suite spectrale. Par exemple, (9.6) implique
(9.15)
b 1 dim E
1,0
2 + (dim E
0,1
2 − dim E
2,0
2 ) + .
Par ailleurs, E
1,0
2
est le groupe de cohomologie d´ efini par la suite
d 1 = d
′ : E
0,0
1 −→ E
1,0
1 −→ E
2,0
1 ,
et comme E
0,0
1
est l’espace des fonctions holomorphes globales sur X, la premi` ere
fl` eche d 1 est z´ ero (par le principe du maximum, les fonctions holomorphes sont
constantes sur chaque composante connexe de X). Donc dim E
1,0
2 h
1,0 −h
2,0 . De
mˆ eme, E
0,1
2 est le noyau d’une application E
0,1
1 → E
1,1
1 , donc dim E
0,1
2 h
0,1 −h
1,1 .
De (9.15) nous d´ eduisons
(9.16)
b 1 (h
1,0 − h
2,0 ) + + (h
0,1 − h
1,1 − h
2,0 ) + .
Une autre relation int´ eressante concerne la caract´ eristique d’Euler-Poincar´ e topologique
χ top (X) = b 0 − b 1 + · · · − b 2n−1 + b 2n .
Nous utiliserons le lemme simple suivant.
9.17. Lemme. Soit (C
• , d) un complexe born´ e d’espaces vectoriels de dimension
finie sur un corps. Alors, la caract´ eristique d’Euler
χ(C
• ) =
(−1)
q dim C
q
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
de la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher n’implique pas automatiquement la
propri´ et´ e de sym´ etrie de Hodge H
q,p (X, C) ≃ H p,q (X, C) ni l’existence d’une
d´ ecomposition canonique des groupes de De Rham. En fait, il n’est pas difficile de
montrer que la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher d’une surface complexe compacte
d´ eg´ en` ere toujours en E 1 ; cependant, si X n’est pas k¨ ahl´ erienne, alors b 1 est
impair, et on peut montrer en utilisant le th´ eor` eme de l’indice de Hirzebruch
que h
0,1 = h
1,0 + 1 et b 1 = 2h 1,0 + 1 (voir [BPV84]). On peut montrer que
l’existence d’une d´ ecomposition de Hodge (resp. de Hodge forte) est pr´ eserv´ ee
par des morphismes de contraction (remplacement de X par X
′ , si µ : X → X
′
est une modification) ; c’est une cons´ equence facile de l’existence d’un foncteur
image directe µ ⋆ agissant sur tous les groupes de cohomologie mis en jeu, tel que
µ ⋆ µ
⋆ = Id ; dans le contexte analytique, µ ⋆ se construit ais´ ement en calculant
la cohomologie ` a l’aide des courants, puisqu’on dispose sur ceux-ci d’un foncteur
image directe naturel. Comme toute vari´ et´ e de Moishezon admet une modification
alg´ ebrique projective, nous en d´ eduisons que les vari´ et´ es de Moishezon admettent
´ egalement une d´ ecomposition de Hodge forte. Il serait int´ eressant de savoir s’il
existe des exemples de vari´ et´ es complexes compactes poss´ edant une d´ ecomposition
de Hodge sans avoir une d´ ecomposition de Hodge forte (il y a en effet des exemples
imm´ ediats de complexes doubles abstraits ayant cette propri´ et´ e).
En g´ en´ eral, quand X n’est pas k¨ ahl´ erienne, un certain nombre d’informations
int´ eressantes peuvent se d´ eduire de la suite spectrale. Par exemple, (9.6) implique
(9.15)
b 1 dim E
1,0
2 + (dim E
0,1
2 − dim E
2,0
2 ) + .
Par ailleurs, E
1,0
2
est le groupe de cohomologie d´ efini par la suite
d 1 = d
′ : E
0,0
1 −→ E
1,0
1 −→ E
2,0
1 ,
et comme E
0,0
1
est l’espace des fonctions holomorphes globales sur X, la premi` ere
fl` eche d 1 est z´ ero (par le principe du maximum, les fonctions holomorphes sont
constantes sur chaque composante connexe de X). Donc dim E
1,0
2 h
1,0 −h
2,0 . De
mˆ eme, E
0,1
2 est le noyau d’une application E
0,1
1 → E
1,1
1 , donc dim E
0,1
2 h
0,1 −h
1,1 .
De (9.15) nous d´ eduisons
(9.16)
b 1 (h
1,0 − h
2,0 ) + + (h
0,1 − h
1,1 − h
2,0 ) + .
Une autre relation int´ eressante concerne la caract´ eristique d’Euler-Poincar´ e topologique
χ top (X) = b 0 − b 1 + · · · − b 2n−1 + b 2n .
Nous utiliserons le lemme simple suivant.
9.17. Lemme. Soit (C
• , d) un complexe born´ e d’espaces vectoriels de dimension
finie sur un corps. Alors, la caract´ eristique d’Euler
χ(C
• ) =
(−1)
q dim C
q