9. Suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
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En particulier, la filtration conjugu´ ee F • H
l
DR est oppos´ ee ` a la filtration F
• H
l
DR ,
i.e.,
H
l
DR (X, C) = F
p H
l
DR (X, C) ⊕ F l−p+1 H l
DR (X, C).
9.11. D´ efinition. Si X est une vari´ et´ e complexe compacte, nous disons que
X admet une d´ ecomposition de Hodge si la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
d´ eg´ en` ere en E 1 et si la filtration conjugu´ ee F • H l
DR est oppos´ ee ` a F
• H
l
DR , i.e.,
H
l
DR = F
p H
l
DR ⊕ F l−p+1 H l
DR pour tout p.
Si X admet une d´ ecomposition de Hodge au sens de la d´ ef. 9.11 et si p + q = l,
on voit imm´ ediatement ` a partir de l’´ egalit´ e H
l
DR = F
p+1 H
l
DR ⊕ F q H
l
DR que
F
p H
l
DR = F
p+1 H
l
DR ⊕ (F
p H
l
DR ∩ F q H
l
DR ),
donc on obtient un isomorphisme canonique
(9.12)
H
p,q (X, C) ≃ F
p H
l
DR /F
p+1 H
l
DR ≃ F
p H
l
DR ∩ F q H
l
DR ⊂ H
l
DR .
Nous d´ eduisons de l` a qu’il y a bien des isomorphismes canoniques
H
l
DR (X, C) =
p+q=l
H
p,q (X),
H
q,p (X, C) = H p,q (X, C),
comme attendu. Notons que (9.12) fournit une autre d´ emonstration du fait que
la d´ ecomposition de Hodge d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte ne d´ epend pas de
la m´ etrique k¨ ahl´ erienne choisie (tous les groupes et morphismes mis en jeu dans
(9.12) sont intrins` eques). En fait, nous avons montr´ e qu’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne
compacte satisfait une propri´ et´ e encore plus forte, qu’il sera commode d’appeler
d´ ecomposition de Hodge forte, puisque celle-ci implique trivialement l’existence
d’une d´ ecomposition de Hodge au sens de la D´ efinition 9.11.
9.13. D´ efinition. Si X est une vari´ et´ e complexe compacte, nous disons que X
admet une d´ ecomposition de Hodge forte si tous les morphismes
H
p,q
BC (X, C) → H
p,q (X, C),
p+q=l
H
p,q
BC (X, C) → H
l
DR (X, C)
sont des isomorphismes.
9.14. Remarque. Deligne [Del68, 72] a donn´ e un crit` ere permettant de v´ erifier
la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge dans un contexte plus alg´ ebrique,
incluant le cas de situations relatives. Plus r´ ecemment, Deligne et Illusie [DeI87] ont
donn´ e une preuve de la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge qui n’utilise
pas les m´ ethodes analytiques (leur id´ ee est de travailler en caract´ eristique p et de
relever le r´ esultat en caract´ eristique 0). Il faut observer que la d´ eg´ en´ erescence
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En particulier, la filtration conjugu´ ee F • H
l
DR est oppos´ ee ` a la filtration F
• H
l
DR ,
i.e.,
H
l
DR (X, C) = F
p H
l
DR (X, C) ⊕ F l−p+1 H l
DR (X, C).
9.11. D´ efinition. Si X est une vari´ et´ e complexe compacte, nous disons que
X admet une d´ ecomposition de Hodge si la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
d´ eg´ en` ere en E 1 et si la filtration conjugu´ ee F • H l
DR est oppos´ ee ` a F
• H
l
DR , i.e.,
H
l
DR = F
p H
l
DR ⊕ F l−p+1 H l
DR pour tout p.
Si X admet une d´ ecomposition de Hodge au sens de la d´ ef. 9.11 et si p + q = l,
on voit imm´ ediatement ` a partir de l’´ egalit´ e H
l
DR = F
p+1 H
l
DR ⊕ F q H
l
DR que
F
p H
l
DR = F
p+1 H
l
DR ⊕ (F
p H
l
DR ∩ F q H
l
DR ),
donc on obtient un isomorphisme canonique
(9.12)
H
p,q (X, C) ≃ F
p H
l
DR /F
p+1 H
l
DR ≃ F
p H
l
DR ∩ F q H
l
DR ⊂ H
l
DR .
Nous d´ eduisons de l` a qu’il y a bien des isomorphismes canoniques
H
l
DR (X, C) =
p+q=l
H
p,q (X),
H
q,p (X, C) = H p,q (X, C),
comme attendu. Notons que (9.12) fournit une autre d´ emonstration du fait que
la d´ ecomposition de Hodge d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte ne d´ epend pas de
la m´ etrique k¨ ahl´ erienne choisie (tous les groupes et morphismes mis en jeu dans
(9.12) sont intrins` eques). En fait, nous avons montr´ e qu’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne
compacte satisfait une propri´ et´ e encore plus forte, qu’il sera commode d’appeler
d´ ecomposition de Hodge forte, puisque celle-ci implique trivialement l’existence
d’une d´ ecomposition de Hodge au sens de la D´ efinition 9.11.
9.13. D´ efinition. Si X est une vari´ et´ e complexe compacte, nous disons que X
admet une d´ ecomposition de Hodge forte si tous les morphismes
H
p,q
BC (X, C) → H
p,q (X, C),
p+q=l
H
p,q
BC (X, C) → H
l
DR (X, C)
sont des isomorphismes.
9.14. Remarque. Deligne [Del68, 72] a donn´ e un crit` ere permettant de v´ erifier
la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge dans un contexte plus alg´ ebrique,
incluant le cas de situations relatives. Plus r´ ecemment, Deligne et Illusie [DeI87] ont
donn´ e une preuve de la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale de Hodge qui n’utilise
pas les m´ ethodes analytiques (leur id´ ee est de travailler en caract´ eristique p et de
relever le r´ esultat en caract´ eristique 0). Il faut observer que la d´ eg´ en´ erescence