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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
On dit que la suite spectrale d´ eg´ en` ere en E r 0 si d r = 0 pour tout r r 0 et pour
tout bidegr´ e (p, q). On a alors bien sˆ ur E
•,•
r 0
= E
•,•
r 0 +1 = · · · = E
•,•
∞ .
Dans le cas de la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher, les termes E 1 sont les
groupes de cohomologie de Dolbeault E
p,q
1
= H
p,q (X, C), et la cohomologie du
complexe total n’est autre que la cohomologie de De Rham H
•
DR (X, C). On obtient
donc une suite spectrale
(9.7)
E
p,q
1 = H
p,q (X, C) ⇒ G
p H
p+q
DR (X, C)
de la cohomologie de Dolbeault vers la cohomologie de De Rham. La filtration
correspondnate F
p H
k
DR (X, C) des groupes de cohomologie est appel´ ee filtration
de Hodge (-Fr¨ olicher).
Supposons maintenant X compacte. Tous les termes E
p,q
r sont alors des espaces
vectoriels de dimension finie. Puisque E r+1 = H
• (E r ), les dimensions dim E
p,q
r
d´ ecroissent (ou stationnent) avec r, donc dim E
p,q
∞ dim E
p,q
r , et l’´ egalit´ e a lieu
si et seulement si la suite spectrale d´ eg´ en` ere en E r . En particulier, les nombres
de Betti b l = dim H
l (X, C) et les nombres de Hodge h
p,q = dim E
p,q
1
satisfont
l’in´ egalit´ e
(9.8)
b l =
p+q=l
dim E
p,q
∞
p+q=l
dim E
p,q
1 =
p+q=l
h
p,q ,
et l’´ egalit´ e ´ equivaut ` a la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale en E
•
1 . Comme
cons´ equence, nous avons le
9.9. Th´ eor` eme. Si X est une vari´ et´ e complexe compacte, les propri´ et´ es suivantes
sont ´ equivalentes :
a) La suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher d´ eg´ en` ere en E
•
1 .
b) On a l’´ egalit´ e b l =
p+q=l h
p,q pour tout l.
c) Il existe un isomorphisme G
p H
p+q
DR (X, C) ≃ H
p,q (X, C) pour tous p, q.
Si une de ces conditions est satisfaite, l’isomorphisme c) est d´ efini de mani` ere
canonique.
Nous pouvons maintenant retraduire les r´ esultats du §8.B comme suit.
9.10. Th´ eor` eme. Si X est une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte, la suite spectrale
de Hodge-Fr¨ olicher d´ eg´ en` ere en E 1 et il y a une d´ ecomposition canonique
H
l
DR (X, C) =
p+q=l
H
p,q (X, C),
H
q,p (X, C) = H p,q (X, C).
En termes de cette d´ ecomposition, la filtration F
p H
l
DR (X, C) est donn´ ee par
F
p H
l
DR (X, C) =
jp
H
j,l−j (X, C).
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
On dit que la suite spectrale d´ eg´ en` ere en E r 0 si d r = 0 pour tout r r 0 et pour
tout bidegr´ e (p, q). On a alors bien sˆ ur E
•,•
r 0
= E
•,•
r 0 +1 = · · · = E
•,•
∞ .
Dans le cas de la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher, les termes E 1 sont les
groupes de cohomologie de Dolbeault E
p,q
1
= H
p,q (X, C), et la cohomologie du
complexe total n’est autre que la cohomologie de De Rham H
•
DR (X, C). On obtient
donc une suite spectrale
(9.7)
E
p,q
1 = H
p,q (X, C) ⇒ G
p H
p+q
DR (X, C)
de la cohomologie de Dolbeault vers la cohomologie de De Rham. La filtration
correspondnate F
p H
k
DR (X, C) des groupes de cohomologie est appel´ ee filtration
de Hodge (-Fr¨ olicher).
Supposons maintenant X compacte. Tous les termes E
p,q
r sont alors des espaces
vectoriels de dimension finie. Puisque E r+1 = H
• (E r ), les dimensions dim E
p,q
r
d´ ecroissent (ou stationnent) avec r, donc dim E
p,q
∞ dim E
p,q
r , et l’´ egalit´ e a lieu
si et seulement si la suite spectrale d´ eg´ en` ere en E r . En particulier, les nombres
de Betti b l = dim H
l (X, C) et les nombres de Hodge h
p,q = dim E
p,q
1
satisfont
l’in´ egalit´ e
(9.8)
b l =
p+q=l
dim E
p,q
∞
p+q=l
dim E
p,q
1 =
p+q=l
h
p,q ,
et l’´ egalit´ e ´ equivaut ` a la d´ eg´ en´ erescence de la suite spectrale en E
•
1 . Comme
cons´ equence, nous avons le
9.9. Th´ eor` eme. Si X est une vari´ et´ e complexe compacte, les propri´ et´ es suivantes
sont ´ equivalentes :
a) La suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher d´ eg´ en` ere en E
•
1 .
b) On a l’´ egalit´ e b l =
p+q=l h
p,q pour tout l.
c) Il existe un isomorphisme G
p H
p+q
DR (X, C) ≃ H
p,q (X, C) pour tous p, q.
Si une de ces conditions est satisfaite, l’isomorphisme c) est d´ efini de mani` ere
canonique.
Nous pouvons maintenant retraduire les r´ esultats du §8.B comme suit.
9.10. Th´ eor` eme. Si X est une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte, la suite spectrale
de Hodge-Fr¨ olicher d´ eg´ en` ere en E 1 et il y a une d´ ecomposition canonique
H
l
DR (X, C) =
p+q=l
H
p,q (X, C),
H
q,p (X, C) = H p,q (X, C).
En termes de cette d´ ecomposition, la filtration F
p H
l
DR (X, C) est donn´ ee par
F
p H
l
DR (X, C) =
jp
H
j,l−j (X, C).