9. Suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
47
Rappelons d’abord la machinerie alg´ ebrique des suites spectrales, qui s’applique ` a un complexe double arbitraire (K
p,q , d
′ + d
′′ ) de modules sur un anneau.
Nous supposons ici pour simplifier que K
p,q = 0 si p < 0 ou q < 0. On associe
d’abord ` a K
•,• le complexe total (K
• , d) tel que K
l =
p+q=l K
p,q , muni de la
diff´ erentielle totale d = d
′ + d
′′ . Alors K
• admet une filtration d´ ecroissante form´ ee
des sous-complexes F
p K
• tels que
(9.1)
F
p K
l =
pjl
K
j,l−j .
On obtient une filtration induite sur les groupes de cohomologie H
l (K
• ) du
complexe total en posant
(9.2)
F
p H
l (K
• ) := Im
H
l (F
p K
• ) → H
l (K
• )
,
et on note G
p H
l (K
• ) = F
p H
l (K
• )/F
p+1 H
l (K
• ) le module gradu´ e associ´ e. La
th´ eorie des suites spectrales (voir par exemple [God57]) nous dit qu’il existe une
suite de complexes doubles E
•,•
r , r 1, munis de diff´ erentielles d r : E
p,q
r
→
E
p+r,q−r+1
r
de bidegr´ e (r, −r + 1), telle que E r+1 = H
• (E r ) se calcule par
r´ ecurrence comme la cohomologie du complexe (E
•,•
r , d r ), et telle que la limite
E
p,q
∞ = lim r→+∞ E
p,q
r s’identifie avec le module gradu´ e G
• H
• (K
• ), de fa¸ con pr´ ecise
E
p,q
∞ = G
p H
p+q (K
• ). Les termes E 1 sont d´ efinis comme les groupes de cohomologie
du complexe partiel d
′′ : K
p,q → K
p,q+1 par rapport ` a la deuxi` eme diff´ erentielle,
c’est-` a-dire
(9.4)
E
p,q
1 = H
q
(K
p,• , d
′′ )
,
et la diff´ erentielle d 1 : E
p,q
1 → E
p+1,q
1
est induite par la premi` ere diff´ erentielle d
′ :
(9.5)
d
′ : H
q
(K
p,• , d
′′ )
−→ H
q
(K
p+1,• , d
′′ )
.
En fait, on a E
p,q
r
= 0 sauf si p, q 0, et la limite E ∞ = lim E r est stationnaire,
plus pr´ ecis´ ement
E
p,q
r = E
p,q
r+1 = · · · = E
p,q
∞
lorsque r max(p + 1, q + 2),
comme on le voit en consid´ erant les indices en lesquels d r peut ˆ etre non nulle. On
dit que la suite spectrale converge vers le gradu´ e du module filtr´ e H
• (K
• ), et on
symbolise habituellement cette situation par la notation
E
p,q
1 ⇒ G
p H
p+q (K
• ).
Un examen soigneux des termes de petit degr´ e conduit ` a la suite exacte
(9.6)
0 −→ E
1,0
2 −→ H
1 (K
• ) −→ E
0,1
2
d 2
−→ E
2,0
2 −→ H
2 (K
• ).
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Rappelons d’abord la machinerie alg´ ebrique des suites spectrales, qui s’applique ` a un complexe double arbitraire (K
p,q , d
′ + d
′′ ) de modules sur un anneau.
Nous supposons ici pour simplifier que K
p,q = 0 si p < 0 ou q < 0. On associe
d’abord ` a K
•,• le complexe total (K
• , d) tel que K
l =
p+q=l K
p,q , muni de la
diff´ erentielle totale d = d
′ + d
′′ . Alors K
• admet une filtration d´ ecroissante form´ ee
des sous-complexes F
p K
• tels que
(9.1)
F
p K
l =
pjl
K
j,l−j .
On obtient une filtration induite sur les groupes de cohomologie H
l (K
• ) du
complexe total en posant
(9.2)
F
p H
l (K
• ) := Im
H
l (F
p K
• ) → H
l (K
• )
,
et on note G
p H
l (K
• ) = F
p H
l (K
• )/F
p+1 H
l (K
• ) le module gradu´ e associ´ e. La
th´ eorie des suites spectrales (voir par exemple [God57]) nous dit qu’il existe une
suite de complexes doubles E
•,•
r , r 1, munis de diff´ erentielles d r : E
p,q
r
→
E
p+r,q−r+1
r
de bidegr´ e (r, −r + 1), telle que E r+1 = H
• (E r ) se calcule par
r´ ecurrence comme la cohomologie du complexe (E
•,•
r , d r ), et telle que la limite
E
p,q
∞ = lim r→+∞ E
p,q
r s’identifie avec le module gradu´ e G
• H
• (K
• ), de fa¸ con pr´ ecise
E
p,q
∞ = G
p H
p+q (K
• ). Les termes E 1 sont d´ efinis comme les groupes de cohomologie
du complexe partiel d
′′ : K
p,q → K
p,q+1 par rapport ` a la deuxi` eme diff´ erentielle,
c’est-` a-dire
(9.4)
E
p,q
1 = H
q
(K
p,• , d
′′ )
,
et la diff´ erentielle d 1 : E
p,q
1 → E
p+1,q
1
est induite par la premi` ere diff´ erentielle d
′ :
(9.5)
d
′ : H
q
(K
p,• , d
′′ )
−→ H
q
(K
p+1,• , d
′′ )
.
En fait, on a E
p,q
r
= 0 sauf si p, q 0, et la limite E ∞ = lim E r est stationnaire,
plus pr´ ecis´ ement
E
p,q
r = E
p,q
r+1 = · · · = E
p,q
∞
lorsque r max(p + 1, q + 2),
comme on le voit en consid´ erant les indices en lesquels d r peut ˆ etre non nulle. On
dit que la suite spectrale converge vers le gradu´ e du module filtr´ e H
• (K
• ), et on
symbolise habituellement cette situation par la notation
E
p,q
1 ⇒ G
p H
p+q (K
• ).
Un examen soigneux des termes de petit degr´ e conduit ` a la suite exacte
(9.6)
0 −→ E
1,0
2 −→ H
1 (K
• ) −→ E
0,1
2
d 2
−→ E
2,0
2 −→ H
2 (K
• ).