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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
montre que l’application H
1 (X, R) −→ H
1 (X, O) correspond, pour la cohomologie
de De Rham et de Dolbeault, ` a l’application compos´ ee
H
1
DR (X, R) ⊂ H
1
DR (X, C) −→ H
0,1 (X, C).
Puisque H
1,0 (X, C) et H
0,1 (X, C) sont des sous-espaces complexes conjugu´ es
dans le complexifi´ e H
1
DR (X, C) de H
1
DR (X, R), nous en d´ eduisons bien que
H
1
DR (X, R) −→ H
0,1 (X, C) est un isomorphisme.
Comme cons´ equence de ce lemme, H
1 (X, Z) est de rang 2q, i.e., H
1 (X, Z) ≃
Z
2q . Le tore complexe de dimension q
(8.25)
Jac(X) = H
1 (X, O)/H
1 (X, Z)
est appel´ e vari´ et´ e jacobienne de X. Il est isomorphe au sous-groupe de H
1 (X, O
⋆ )
correspondant aux fibr´ es en droites de premi` ere classe de Chern nulle. D’autre
part, le noyau de la fl` eche
H
2 (X, Z) −→ H
2 (X, O) = H
0,2 (X, C),
qui est constitu´ e par d´ efinition des classes de cohomologie enti` eres de type (1, 1),
est ´ egal ` a l’image du morphisme c 1 (•) dans H
2 (X, Z). Ce sous-groupe est appel´ e
groupe de N´ eron-Severi de X, not´ e N S(X) ; son rang ρ(X) est appel´ e nombre de
Picard de X.
La suite exacte (8.21) donne alors
(8.26)
0 −→ Jac(X) −→ H
1 (X, O
⋆ )
c 1
−→ N S(X) −→ 0.
Le groupe de Picard H
1 (X, O
⋆ ) est donc une extension du tore complexe Jac(X)
par le Z-module de type fini N S(X).
8.27. Corollaire. Le groupe de Picard de P
n est H
1 (P
n , O
⋆ ) ≃ Z avec O(1)
comme g´ en´ erateur, i.e. tout fibr´ e en droites sur P
n est isomorphe ` a l’un des fibr´ es
en droites O(k), k ∈ Z.
Preuve. Nous avons H
k (P
n , O) = H
0,k (P
n , C) = 0 pour k 1 grˆ ace ` a la
cons´ eq. 8.8, donc Jac(P
n ) = 0 et N S(P
n ) = H
2 (P
n , Z) ≃ Z. De plus, c 1
O(1)
est
un g´ en´ erateur de H
2 (P
n , Z).
9. Suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
Soit X une vari´ et´ e complexe quelconque (i.e. non n´ ecessairement compacte)
de dimension n. Nous consid´ erons le complexe double K
p,q = C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ) avec
sa diff´ erentielle totale d = d
′ + d
′′ . La suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher (ou suite
spectrale de Hodge vers De Rham) est par d´ efinition la suite spectrale associ´ ee ` a
ce complexe double.
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
montre que l’application H
1 (X, R) −→ H
1 (X, O) correspond, pour la cohomologie
de De Rham et de Dolbeault, ` a l’application compos´ ee
H
1
DR (X, R) ⊂ H
1
DR (X, C) −→ H
0,1 (X, C).
Puisque H
1,0 (X, C) et H
0,1 (X, C) sont des sous-espaces complexes conjugu´ es
dans le complexifi´ e H
1
DR (X, C) de H
1
DR (X, R), nous en d´ eduisons bien que
H
1
DR (X, R) −→ H
0,1 (X, C) est un isomorphisme.
Comme cons´ equence de ce lemme, H
1 (X, Z) est de rang 2q, i.e., H
1 (X, Z) ≃
Z
2q . Le tore complexe de dimension q
(8.25)
Jac(X) = H
1 (X, O)/H
1 (X, Z)
est appel´ e vari´ et´ e jacobienne de X. Il est isomorphe au sous-groupe de H
1 (X, O
⋆ )
correspondant aux fibr´ es en droites de premi` ere classe de Chern nulle. D’autre
part, le noyau de la fl` eche
H
2 (X, Z) −→ H
2 (X, O) = H
0,2 (X, C),
qui est constitu´ e par d´ efinition des classes de cohomologie enti` eres de type (1, 1),
est ´ egal ` a l’image du morphisme c 1 (•) dans H
2 (X, Z). Ce sous-groupe est appel´ e
groupe de N´ eron-Severi de X, not´ e N S(X) ; son rang ρ(X) est appel´ e nombre de
Picard de X.
La suite exacte (8.21) donne alors
(8.26)
0 −→ Jac(X) −→ H
1 (X, O
⋆ )
c 1
−→ N S(X) −→ 0.
Le groupe de Picard H
1 (X, O
⋆ ) est donc une extension du tore complexe Jac(X)
par le Z-module de type fini N S(X).
8.27. Corollaire. Le groupe de Picard de P
n est H
1 (P
n , O
⋆ ) ≃ Z avec O(1)
comme g´ en´ erateur, i.e. tout fibr´ e en droites sur P
n est isomorphe ` a l’un des fibr´ es
en droites O(k), k ∈ Z.
Preuve. Nous avons H
k (P
n , O) = H
0,k (P
n , C) = 0 pour k 1 grˆ ace ` a la
cons´ eq. 8.8, donc Jac(P
n ) = 0 et N S(P
n ) = H
2 (P
n , Z) ≃ Z. De plus, c 1
O(1)
est
un g´ en´ erateur de H
2 (P
n , Z).
9. Suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher
Soit X une vari´ et´ e complexe quelconque (i.e. non n´ ecessairement compacte)
de dimension n. Nous consid´ erons le complexe double K
p,q = C
∞ (X, Λ
p,q T
⋆
X ) avec
sa diff´ erentielle totale d = d
′ + d
′′ . La suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher (ou suite
spectrale de Hodge vers De Rham) est par d´ efinition la suite spectrale associ´ ee ` a
ce complexe double.