8. Cohomologie des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes
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En fait (8.20
′ ) est clair, et (8.20
′′ ) sera d´ emontr´ e si nous v´ erifions que toute (p, q)forme primitive u satisfait
(−1)
k(k−1)/2 i
p−q ω
n−k ∧ u = ⋆u.
Puisque Prim
p,q T
⋆
X est une repr´ esentation irr´ eductible de U (n), il suffit de v´ erifier
la formule pour une (p, q)-forme u bien choisie. On peut prendre par exemple
u = dz 1 ∧ · · · ∧ dz p ∧ dz p+1 ∧ · · · ∧ dz p+q dans une base orthonormale pour ω. La
v´ erification effective est laiss´ ee au lecteur ` a titre d’exercice.
8.D. Description du groupe de Picard
Un autre application importante de la th´ eorie de Hodge est une description du
groupe de Picard H
1 (X, O
⋆ ) d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte. Nous supposons
ici que X est connexe. La suite exacte exponentielle 0 → Z → O → O
⋆ → 1 donne
(8.21)
0 −→ H
1 (X, Z) −→ H
1 (X, O) −→ H
1 (X, O
⋆ )
c 1
−→ H
2 (X, Z) −→ H
2 (X, O),
si l’on tient compte du fait que l’application exp(2πi•) : H
0 (X, O) = C −→
H
0 (X, O
⋆ ) = C
⋆ est surjective. On a H
1 (X, O) ≃ H
0,1 (X, C) par l’isomorphisme
de Dolbeault. La dimension de ce groupe est appel´ ee irr´ egularit´ e de X et elle est
habituellement not´ ee
(8.22)
q = q(X) = h
0,1 = h
1,0 .
Par cons´ equent nous avons b 1 = 2q et
(8.23)
H
1 (X, O) ≃ C
q , H
0 (X, Ω
1
X ) = H
1,0 (X, C) ≃ C
q .
8.24. Lemme. L’image de H
1 (X, Z) dans H
1 (X, O) est un r´ eseau.
Preuve. Consid´ erons le morphisme
H
1 (X, Z) −→ H
1 (X, R) −→ H
1 (X, C) −→ H
1 (X, O)
induit par les inclusions Z ⊂ R ⊂ C ⊂ O. Comme les groupes de cohomologie
de ˇ
Cech ` a valeurs dans Z ou R peuvent se calculer par des recouvrements finis
constitu´ es d’ouverts diff´ eomorphes ` a des ouverts convexes, de mˆ eme que toutes
leurs intersections mutuelles, il est clair que H
1 (X, Z) est un Z-module de type
fini et que l’image de H
1 (X, Z) dans H
1 (X, R) est un r´ eseau. Il suffit donc de
v´ erifier que l’application H
1 (X, R) −→ H
1 (X, O) est un isomorphisme. Or, le
diagramme commutatif
0−→C−→ A
0
d
−→ A
1
d
−→ A
2 −→· · ·
0−→O−→A
0,0 d
′′
−→A
0,1 d
′′
−→A
0,2 −→· · ·
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En fait (8.20
′ ) est clair, et (8.20
′′ ) sera d´ emontr´ e si nous v´ erifions que toute (p, q)forme primitive u satisfait
(−1)
k(k−1)/2 i
p−q ω
n−k ∧ u = ⋆u.
Puisque Prim
p,q T
⋆
X est une repr´ esentation irr´ eductible de U (n), il suffit de v´ erifier
la formule pour une (p, q)-forme u bien choisie. On peut prendre par exemple
u = dz 1 ∧ · · · ∧ dz p ∧ dz p+1 ∧ · · · ∧ dz p+q dans une base orthonormale pour ω. La
v´ erification effective est laiss´ ee au lecteur ` a titre d’exercice.
8.D. Description du groupe de Picard
Un autre application importante de la th´ eorie de Hodge est une description du
groupe de Picard H
1 (X, O
⋆ ) d’une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne compacte. Nous supposons
ici que X est connexe. La suite exacte exponentielle 0 → Z → O → O
⋆ → 1 donne
(8.21)
0 −→ H
1 (X, Z) −→ H
1 (X, O) −→ H
1 (X, O
⋆ )
c 1
−→ H
2 (X, Z) −→ H
2 (X, O),
si l’on tient compte du fait que l’application exp(2πi•) : H
0 (X, O) = C −→
H
0 (X, O
⋆ ) = C
⋆ est surjective. On a H
1 (X, O) ≃ H
0,1 (X, C) par l’isomorphisme
de Dolbeault. La dimension de ce groupe est appel´ ee irr´ egularit´ e de X et elle est
habituellement not´ ee
(8.22)
q = q(X) = h
0,1 = h
1,0 .
Par cons´ equent nous avons b 1 = 2q et
(8.23)
H
1 (X, O) ≃ C
q , H
0 (X, Ω
1
X ) = H
1,0 (X, C) ≃ C
q .
8.24. Lemme. L’image de H
1 (X, Z) dans H
1 (X, O) est un r´ eseau.
Preuve. Consid´ erons le morphisme
H
1 (X, Z) −→ H
1 (X, R) −→ H
1 (X, C) −→ H
1 (X, O)
induit par les inclusions Z ⊂ R ⊂ C ⊂ O. Comme les groupes de cohomologie
de ˇ
Cech ` a valeurs dans Z ou R peuvent se calculer par des recouvrements finis
constitu´ es d’ouverts diff´ eomorphes ` a des ouverts convexes, de mˆ eme que toutes
leurs intersections mutuelles, il est clair que H
1 (X, Z) est un Z-module de type
fini et que l’image de H
1 (X, Z) dans H
1 (X, R) est un r´ eseau. Il suffit donc de
v´ erifier que l’application H
1 (X, R) −→ H
1 (X, O) est un isomorphisme. Or, le
diagramme commutatif
0−→C−→ A
0
d
−→ A
1
d
−→ A
2 −→· · ·
0−→O−→A
0,0 d
′′
−→A
0,1 d
′′
−→A
0,2 −→· · ·