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J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Notons H
k
prim (X, C) =
p+q=k H
p,q
prim (X, C) l’espace des k-formes harmoniques primitives et soit h
p,q
prim la dimension de la composante de bidegr´ e (p, q). Le
lemme (8.14) donne
H
p,q (X, C) =
r(p+q−n) +
L
r H
p−r,q−r
prim
(X, C),
(8.15)
h
p,q =
r(p+q−n) +
h
p−r,q−r
prim
.
(8.16)
La Formule (8.16) peut se r´ ecrire
(8.16
′ )
if p + q n, h
p,q = h
p,q
prim + h
p−1,q−1
prim
+ · · ·
if p + q n, h
p,q = h
n−q,n−p
prim
+ h
n−q−1,n−p−1
prim
+ · · · .
8.17. Corollaire. Les nombres de Hodge et de Betti satisfont les in´ egalit´ es
suivantes.
a) Si k = p + q n, alors h
p,q
h
p−1,q−1 , b k b k−2 ,
b) Si k = p + q n, alors h
p,q
h
p+1,q+1 , b k b k+2 .
Un autre r´ esultat important de la th´ eorie de Hodge (qui est en fait une
cons´ equence directe du Cor. 6.23) est le
8.18. Th´ eor` eme de Lefschetz difficile. Les morphismes de cup produit
L
n−k :
H
k (X, C) −→ H
2n−k (X, C),
k n,
L
n−p−q : H
p,q (X, C) −→ H
n−q,n−p (X, C), p + q n,
sont des isomorphismes.
Une autre mani` ere d’´ enoncer le th´ eor` eme de Lefschetz difficile est d’introduire
la forme bilin´ eaire de Hodge-Riemann sur H
k
DR (X, C), d´ efinie par
(8.19)
Q(u, v) = (−1)
k(k−1)/2
X
u ∧ v ∧ ω
n−k .
Le th´ eor` eme de Lefschetz difficile combin´ e avec la dualit´ e de Poincar´ e nous dit
que Q est non d´ eg´ en´ er´ ee. De plus Q est de parit´ e (−1)
k (sym´ etrique si k est pair,
altern´ ee si k est impair). Lorsque ω est une m´ etrique de Hodge, c’est-` a-dire une
m´ etrique k¨ ahl´ erienne telle que {ω} ∈ H
2 (X, Z), il est clair que Q prend des valeurs
enti` eres sur le r´ eseau H
k (X, Z)/(torsion). La forme bilin´ eaire de Hodge-Riemann
satisfait les propri´ et´ es suppl´ ementaires suivantes : pour p + q = k,
Q(H
p,q , H
p
′ ,q
′ ) = 0
si (p
′ , q
′ ) = (q, p),
(8.20
′ )
Si 0 = u ∈ H
p,q
prim (X, C),
alors i
p−q Q(u, u) = u
2 > 0.
(8.20
′′ )
J.-P. Demailly, Partie I : Th´ eorie de Hodge L 2
Notons H
k
prim (X, C) =
p+q=k H
p,q
prim (X, C) l’espace des k-formes harmoniques primitives et soit h
p,q
prim la dimension de la composante de bidegr´ e (p, q). Le
lemme (8.14) donne
H
p,q (X, C) =
r(p+q−n) +
L
r H
p−r,q−r
prim
(X, C),
(8.15)
h
p,q =
r(p+q−n) +
h
p−r,q−r
prim
.
(8.16)
La Formule (8.16) peut se r´ ecrire
(8.16
′ )
if p + q n, h
p,q = h
p,q
prim + h
p−1,q−1
prim
+ · · ·
if p + q n, h
p,q = h
n−q,n−p
prim
+ h
n−q−1,n−p−1
prim
+ · · · .
8.17. Corollaire. Les nombres de Hodge et de Betti satisfont les in´ egalit´ es
suivantes.
a) Si k = p + q n, alors h
p,q
h
p−1,q−1 , b k b k−2 ,
b) Si k = p + q n, alors h
p,q
h
p+1,q+1 , b k b k+2 .
Un autre r´ esultat important de la th´ eorie de Hodge (qui est en fait une
cons´ equence directe du Cor. 6.23) est le
8.18. Th´ eor` eme de Lefschetz difficile. Les morphismes de cup produit
L
n−k :
H
k (X, C) −→ H
2n−k (X, C),
k n,
L
n−p−q : H
p,q (X, C) −→ H
n−q,n−p (X, C), p + q n,
sont des isomorphismes.
Une autre mani` ere d’´ enoncer le th´ eor` eme de Lefschetz difficile est d’introduire
la forme bilin´ eaire de Hodge-Riemann sur H
k
DR (X, C), d´ efinie par
(8.19)
Q(u, v) = (−1)
k(k−1)/2
X
u ∧ v ∧ ω
n−k .
Le th´ eor` eme de Lefschetz difficile combin´ e avec la dualit´ e de Poincar´ e nous dit
que Q est non d´ eg´ en´ er´ ee. De plus Q est de parit´ e (−1)
k (sym´ etrique si k est pair,
altern´ ee si k est impair). Lorsque ω est une m´ etrique de Hodge, c’est-` a-dire une
m´ etrique k¨ ahl´ erienne telle que {ω} ∈ H
2 (X, Z), il est clair que Q prend des valeurs
enti` eres sur le r´ eseau H
k (X, Z)/(torsion). La forme bilin´ eaire de Hodge-Riemann
satisfait les propri´ et´ es suppl´ ementaires suivantes : pour p + q = k,
Q(H
p,q , H
p
′ ,q
′ ) = 0
si (p
′ , q
′ ) = (q, p),
(8.20
′ )
Si 0 = u ∈ H
p,q
prim (X, C),
alors i
p−q Q(u, u) = u
2 > 0.
(8.20
′′ )